Криволинейный интергал первого рода по длине дуги

1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла 1 рода

сть  – спрямляемая кривая в пространстве , вдоль которой распределена масса. Определим массу кривой  , если плотность распределения массы в каждой точке  равна 

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем кривую  на  дуг , , …, . На каждой дуге  выберем произвольную точку . Если дуга  мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы . Тогда приближенное значение массы  дуги  будет равно

,

где   – длина . Так как масса  всей кривой  равна сумме масс ее частей, то

.

Причем разность  будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой . Следовательно, точное значение массы кривой будет равно , (1)

где  – наибольшая из длин .

К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания.

2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода

Пусть  – спрямляемая кривая в пространстве  и на кривой  задана функция 

1. Разобьем кривую  произвольным образом на  частей, не имеющих общих внутренних точек:

, …, .

2. На каждой дуге  выберем произвольную точку  и вычислим произведение ,  где  – длина дуги .

Сумму  назовем интегральной суммой для функции   по кривой  (соответствующей данному разбиению кривой  и данному выбору точек ). Очевидно, что интегральная сумма   зависит от способа разбиения кривой  и выбора точек  и, следовательно, для функции  по кривой  можно записать множество различных интегральных сумм.

Пусть  – наибольшая из длин .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число  называется пределом интегральных сумм  при  (обозначают ), если для любого  существует  такое, что для любого разбиения кривой   у которого , при любом выборе точек  выполняется неравенство

 .

Если существует конечный предел интегральных сумм  при , то его называют криволинейным интегралом I  рода (по длине дуги) от функции  по кривой .

Криволинейный интеграл I рода от функции  по кривой  обозначают 

 

( называют подынтегральной функцией,  – областью интегрирования,  – переменные интегрирования,  – дифференциал длины дуги). 

Если существует , то функция  называется интегрируемой по кривой .

Из определения следует, что криволинейный интеграл I рода не зависит от того, в каком направлении пробегается кривая , т.е.

.

Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии - геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге "Начала" (300 лет до н. э.).
На главную