Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


 Криволинейный интергал первого рода по длине дуги

1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла 1 рода

сть  – спрямляемая кривая в пространстве , вдоль которой распределена масса. Определим массу кривой  , если плотность распределения массы в каждой точке  равна 

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем кривую  на  дуг , , …, . На каждой дуге  выберем произвольную точку . Если дуга  мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы . Тогда приближенное значение массы  дуги  будет равно

,

где   – длина . Так как масса  всей кривой  равна сумме масс ее частей, то

.

Причем разность  будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой . Следовательно, точное значение массы кривой будет равно , (1)

где  – наибольшая из длин .

К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания.

2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода

Пусть  – спрямляемая кривая в пространстве  и на кривой  задана функция 

1. Разобьем кривую  произвольным образом на  частей, не имеющих общих внутренних точек:

, …, .

2. На каждой дуге  выберем произвольную точку  и вычислим произведение ,  где  – длина дуги .

Сумму  назовем интегральной суммой для функции   по кривой  (соответствующей данному разбиению кривой  и данному выбору точек ). Очевидно, что интегральная сумма   зависит от способа разбиения кривой  и выбора точек  и, следовательно, для функции  по кривой  можно записать множество различных интегральных сумм.

Пусть  – наибольшая из длин .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число  называется пределом интегральных сумм  при  (обозначают ), если для любого  существует  такое, что для любого разбиения кривой   у которого , при любом выборе точек  выполняется неравенство

 .

Если существует конечный предел интегральных сумм  при , то его называют криволинейным интегралом I  рода (по длине дуги) от функции  по кривой .

Криволинейный интеграл I рода от функции  по кривой  обозначают 

 

( называют подынтегральной функцией,  – областью интегрирования,  – переменные интегрирования,  – дифференциал длины дуги). 

Если существует , то функция  называется интегрируемой по кривой .

Из определения следует, что криволинейный интеграл I рода не зависит от того, в каком направлении пробегается кривая , т.е.

.

Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии - геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге "Начала" (300 лет до н. э.).
На главную