Поверхностный интеграл первого рода по площади поверхности

Поверхностный интеграл 1 рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу.

1. Задача, приводящая к понятию поверхностного
интеграла I рода

Пусть   – квадрируемая поверхность в пространстве , по которой распределена масса. Определим массу поверхности , если плотность распределения массы в каждой точке  равна

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем поверхность  на  частей , , …, . На каждой части  выберем произвольную точку . Если часть  мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы . Тогда приближенное значение массы  части  будет равно

,

где   – площадь . Так как масса  всей поверхности  равна сумме масс ее частей, то

.

Причем разность  будет тем меньше, чем мельче разбиение поверхности .  Следовательно, точное значение массы поверхности будет равно 

 , (1)

где  – наибольший из диаметров частей .

К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания.


2. Определение и свойства поверхностного интеграла I рода

Пусть  – квадрируемая поверхность в пространстве   и на поверхности  задана функция 

1. Разобьем поверхность  произвольным образом на  частей, не имеющих общих внутренних точек:

, , …, .

2. На каждой части  выберем произвольную точку  и вычислим произведение ,  где  – площадь части .

Сумму  назовем интегральной суммой для функции   по поверхности  (соответствующей данному разбиению поверхности  и данному выбору точек ). Очевидно, что интегральная сумма   зависит от способа разбиения поверхности  и выбора точек  и, следовательно, для функции  по поверхности  можно записать множество различных интегральных сумм.

Пусть  – диаметр .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число  называется пределом интегральных сумм  при  (обозначают ), если для любого  существует  такое, что для любого разбиения поверхности   у которого , при любом выборе точек  выполняется неравенство .

Если существует конечный предел интегральных сумм  при , то его называют поверхностным интегралом I  рода (по площади поверхности) от функции  по поверхности .

Поверхностный интеграл I рода от функции   по поверхности  обозначают 

 

( называют подынтегральной функцией,  – областью интегрирования,  – переменные интегрирования,  – дифференциал площади поверхности). 

Если существует , то функция  называется интегрируемой по поверхности .

Достаточное условие существования поверхностного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение поверхностного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому поверхностный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии - геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге "Начала" (300 лет до н. э.).
На главную