Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


 Поверхностный интеграл первого рода по площади поверхности

Поверхностный интеграл 1 рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу.

1. Задача, приводящая к понятию поверхностного
интеграла I рода

Пусть   – квадрируемая поверхность в пространстве , по которой распределена масса. Определим массу поверхности , если плотность распределения массы в каждой точке  равна

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем поверхность  на  частей , , …, . На каждой части  выберем произвольную точку . Если часть  мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы . Тогда приближенное значение массы  части  будет равно

,

где   – площадь . Так как масса  всей поверхности  равна сумме масс ее частей, то

.

Причем разность  будет тем меньше, чем мельче разбиение поверхности .  Следовательно, точное значение массы поверхности будет равно 

 , (1)

где  – наибольший из диаметров частей .

К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания.


2. Определение и свойства поверхностного интеграла I рода

Пусть  – квадрируемая поверхность в пространстве   и на поверхности  задана функция 

1. Разобьем поверхность  произвольным образом на  частей, не имеющих общих внутренних точек:

, , …, .

2. На каждой части  выберем произвольную точку  и вычислим произведение ,  где  – площадь части .

Сумму  назовем интегральной суммой для функции   по поверхности  (соответствующей данному разбиению поверхности  и данному выбору точек ). Очевидно, что интегральная сумма   зависит от способа разбиения поверхности  и выбора точек  и, следовательно, для функции  по поверхности  можно записать множество различных интегральных сумм.

Пусть  – диаметр .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число  называется пределом интегральных сумм  при  (обозначают ), если для любого  существует  такое, что для любого разбиения поверхности   у которого , при любом выборе точек  выполняется неравенство .

Если существует конечный предел интегральных сумм  при , то его называют поверхностным интегралом I  рода (по площади поверхности) от функции  по поверхности .

Поверхностный интеграл I рода от функции   по поверхности  обозначают 

 

( называют подынтегральной функцией,  – областью интегрирования,  – переменные интегрирования,  – дифференциал площади поверхности). 

Если существует , то функция  называется интегрируемой по поверхности .

Достаточное условие существования поверхностного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение поверхностного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому поверхностный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии - геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге "Начала" (300 лет до н. э.).
На главную