Кратные, поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Стокса и Остроградского

Кратные интегралы двойной интеграл

Def : Интегральной суммой функции f(x,y) в области P называется , где Pi – площадь фигуры (Pi), (xi, hi) – произвольная точка данной области.

Пусть l – наибольший из диаметров областей (Pi).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется двойным интегралом функции f(x,y) в области P и обозначается .

Двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого интеграла на случай функции двух переменных. Физический смысл – объем цилиндрического бруса.

Условие существования двойного интеграла

Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы , где S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу соответственно.

Всякая непрерывная в области P функция f(x,y) интегрируема.

Если ограниченная функция имеет f(x,y) имеет разрывы лишь на конечном числе кривых с площадью 0, то она интегрируема.

Свойства двойного интеграла

Далее всюду предполагается интегрируемость функций f и g на (P).

Существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа кривых с площадью 0.

Пусть (P) = (P’) + (P’’), тогда .

.

Если f(x,y)£g(x,y) на (P), то .

 (если f интегрируема, то |f| также интегрируема).

Если m £ f(x,y) £ M, то  или найдется такое число m, m £ m £ M, что .

Условия существования и свойства легко переносятся на случай многократных интегралов.

тройной интеграл

Def : Интегральной суммой функции f(x,y,z) в области V называется , где Vi –объем области (Vi), (xi, hi, zi) – произвольная точка данной области.

Пусть l – наибольший из диаметров областей (Vi).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется тройным интегралом функции f(x,y,z) в области V и обозначается .

Физический смысл – масса тела объема (V), если f(x,y,z) считать функцией плотности в точке.

n-кратный интеграл

Def : Для простейшей n-мерной области – n-мерного прямоугольного параллелепипеда [a1,b1;a2,b2;...;an,bn] объемом называется произведение его измерений (a1- b1)( a2- b2)…(an - bn).

Рассматриваются только те тела, для которых n-мерный объем существует (он заведомо существует для тел, ограниченных гладкими или кусочно-гладкими поверхностями). Простейшие n-мерные области: n-мерный симплекс (x1³0,...,xn³0; x1+...+xn£h) и n-мерная сфера (x12+...+xn2£r2).

Def : Аналогично рассмотренным выше случаям строится интегральная сумма функции f(x1,...,xn) в n-мерной области (V), предел которой при стремлении к нулю шага разбиения l будет называться n-кратным интегралом .

Поверхностные интегралы

первого рода

Def : Пусть в точках некоторой двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности (S), ограниченной кусочно-гладким контуром, определена функция f(x,y,z). Интегральной суммой функции f(x,y,z) в области S называется , где Si – площадь фигуры (Si).

Пусть l – наибольший из диаметров поверхностей (Si).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется поверхностным интегралом первого типа функции f(x,y,z) в области S и обозначается .

Пусть задана гладкая поверхность S: r=r(u,v)={x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v); (u,v)Î }

D – квадрируемая (т.е. поверхность, имеющая площадь) плоская область. E,G и F - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S. , , . Пусть на множестве точек r(u,v) поверхности S задана функция

F( r(u,v))= F( x(u,v), y(u,v), z(u,v)).

Def 1: Поверхностный интеграл первого рода  сводится к обыкновенному двойному следующим образом: .

второго рода

Рассмотрим двустороннюю поверхность (S), гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон (это равносильно выбору на поверхности определенной ориентации). Предположим, что поверхность задана явным уравнением z=z(x,y) на области (D). Тогда выбор возможен между верхней и нижней сторонами поверхности. В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление против часовой стрелки, если смотреть сверху, в втором – обратное направление. Направление обхода контура проецируемой фигуры определяет направление обхода контура проекции. Направление это совпадает с вращением против часовой стрелки (т.е. отвечает ориентации самой плоскости ху), если фиксирована была верхняя сторона поверхности (S) – тогда площадь проекции берем со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным – площадь проекции берется со знаком минус.

Составим интегральную сумму так: , где Di – площадь проекции на плоскость ху элемента (Si), снабженная знаком по указанному выше правилу. Пусть l – наибольший из диаметров поверхностей (Si).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется поверхностным интегралом второго типа от f(x,y,z)dxdy, распространенным на выбранную сторонцу поверхности S, и обозначается (dxdy говорит о площади проекции элемента поверхности на плоскость ху). Если вместо плоскости ху проекцировать элементы поверхности на плоскость yz или zx, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

или . Часто использую соединение интегралов всех этих видов:

, где P,Q,R – функции от (x,y,z), определенные в точках поверхности (S).

NB!!! Во всех случаях поверхность (S) предполагается двусторонней и интеграл распростроняется на определенную ее сторону.

Криволинейные интегралы

Аналогичны поверхностным интегралам, только рассматривается не поверхность, а кривая.

первого рода

Def : Интегральной суммой функции f(x,y) в области P называется , где si – длина дуги кривой (К).

l=max(si­­).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется криволинейным интегралом первого типа функции f(x,y) на кривой (К) и обозначается , где s говорит о длине дуги ds кривой (К). Аналогично можно распростронить это понятие на пространственную кривую: .

Пусть в трехмерном пространстве задана спрямляемая ориентированная кривая g, r(s)={x(s), y(s), z(s); 0£s£S} - ее представление, где за параметр взята переменная длина дуги s, A = r(0) и B = r(S) - начальная и конечная точки этой кривой.

Криволинейный интеграл первого рода от функции F по кривой AB можно свести к обыкновенному:

.

второго рода

Сумма строится так же, только значение в точке умножается не на длину дуги, а на длину ее проекции. Как и в случае с поверхностным интегралом, определяем направление кривой.

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется криволинейным интегралом второго типа функции f(x,y)dx, взятым по кривой или пути (АВ), и обозначается .

Важно направление кривой: .

Интеграл для пространственной кривой: .

Интеграл общего вида:

Формула Грина

Связывает двойной и криволинейный интегралы.

Пусть G - плоская область и ее граница L является кусочно-гладким контуром. Пусть в замкнутой области  заданы функции P(x,y), Q(x,y), непрерывные на  вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула .

Формула Стокса

Пусть S простая гладкая двусторонняя поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L. Формула Стокса: . Или если заменить поверхностный интеграл второго рода на поверхностный интеграл первого рода, то получим , где cosa, cosb, cosg означают направляющие косинусы нормали, отвечающей выбранной стороне поверхности.

Полагая , эту формулу можно переписать так: , т.е. циркуляция векторного поля по контуру L равна потоку вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром L.

Целью изучения математики является - повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.
На главную