Формула Остроградского

Аналог формулы Грина для тройных интегралов.

Пусть тело V ограничено кусочно-гладкой поверхностью S, тогда , или, если заменить поверхностный интеграл второго рода на поверхностный интеграл первого рода, .

Полагая , эту формулу можно переписать в виде

т.е. интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.

NB! Формулы Грина, Стокса и Остроградского объединены одной идеей: они выражают интеграл, распространенный на некоторый геометрический образ, через интеграл, взятый по границе этого образа. При этом формула Грина относится к случаю двумерного пространства, формула Стокса – к случаю двумерного «кривого» пространства, а формула Остроградского – к случаю трехмерного пространства.

На основную формулу интегрального исчисления  можно смотреть как на некоторый аналог этих формул для одномерного пространства.

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и , ; кроме того

Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:

если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

 Пример:

 

 Если a = 1, то

 Следовательно, при a < 1 интеграл

 Аналогично определяется несобственный интеграл, если

 

Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть :  и существует предел:

Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.

 Пример:

  

 Если a = 1, то

Следовательно, несобственный интеграл

 

Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: и несобственный интеграл  сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл .

Доказательство: В силу сходимости  по критерию Коши для функции , выполняется неравенство . Но тогда, ввиду неравенств:  аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.

Следовательно, по критерию Коши существует предел:

, т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл  расходится, то расходится и несобственный интеграл .

Эйлеровы интегралы G(a) и B(a, b).

Определим функцию G(a) равенством:

.

Покажем, что интеграл сходится при a > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

 

и докажем сходимость каждого из этих интегралов при a > 0.

Обозначим  и .

Если xÎ(0, 1], то: . Так как интеграл , как это было доказано выше сходится при 1 - a< 1, т.е. при a>0, то по признаку сравнения интеграл  сходится при a>0. Если xÎ[1, + ) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: .

 Заметим, что , т.е. этот интеграл сходится при любых aÎR. Следовательно, функция Эйлера G(a) = G1(a) + G2(a) определена для всех a>0.

Далее, определим функцию B(a, b) =  и докажем, что эта функция определена для любых a>0 и b>0.

Обозначим:  и .

Если xÎ(0, 1/2], то . Интеграл  сходится по признаку сравнения 1 - a<1, т.е. при a>0 и при любых значениях b. Заметим, что, если в интеграле B2(a, b) сделать замену t = 1 – x, то мы B1(b, a), который, как мы выяснили, сходится при b>0 и при любых a.

Следовательно, функция Эйлера B(a, b) = B1(a, b) + B2(a, b) определена для любых a>0 и b>0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:

G(1) = 1

G(a + 1) = aG(a),  a>0

G(n + 1) = n!, nÎN

G(a)G(1 - a) = , 0<a<1

G(1/2) =

B(a, b) =

Пример:

Вычислить интеграл вероятности .

В силу чётности функции  интеграл вероятности можно представить в виде:

  .

Сделав в этом интеграле замену t = x2 , получим следующий интеграл:

 

Интегралы и дифференциальные уравнения

Задача 1.

Найти первообразные функций и проверить дифференцированием результаты в пп. а) и в).

а) б) в) г)

   

Задача 2.

Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница. В п.б) вычислить также приближенно по формуле прямоугольников и трапеций (n=8 или 10).

а) б) в)

  

Задача 3.

Найти общее решение дифференциальных уравнений.

а) б) в)

y’’+3y’-4y=0  dy-xydx = -4xdx 

Задача 4

Найти решение начальной задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка. Сравнить точный ответ (аналитическое решение) с приближенным, полученным путем решения начальной задачи Коши методом Эйлера. При вычислениях рекомендуется использовать MS Excel. Шаг интегрирования и верхний предел интегрирования подобрать самостоятельно.

23.

Задача 5

Найти решение начальной задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить точный ответ (аналитическое решение) с приближенным, полученным путем решения начальной задачи Коши методом Эйлера (предварительно преобразовать уравнение второго порядка в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка). При вычислениях рекомендуется использовать MS Excel. Шаг интегрирования и верхний предел интегрирования подобрать самостоятельно.

23.

Целью изучения математики является - повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.
На главную