Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


Формула Остроградского

Аналог формулы Грина для тройных интегралов.

Пусть тело V ограничено кусочно-гладкой поверхностью S, тогда , или, если заменить поверхностный интеграл второго рода на поверхностный интеграл первого рода, .

Полагая , эту формулу можно переписать в виде

т.е. интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.

NB! Формулы Грина, Стокса и Остроградского объединены одной идеей: они выражают интеграл, распространенный на некоторый геометрический образ, через интеграл, взятый по границе этого образа. При этом формула Грина относится к случаю двумерного пространства, формула Стокса – к случаю двумерного «кривого» пространства, а формула Остроградского – к случаю трехмерного пространства.

На основную формулу интегрального исчисления  можно смотреть как на некоторый аналог этих формул для одномерного пространства.

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и , ; кроме того

Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется предел:

если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

 Пример:

 

 Если a = 1, то

 Следовательно, при a < 1 интеграл

 Аналогично определяется несобственный интеграл, если

 

Определение несобственного интеграла 2 рода:

Пусть :  и существует предел:

Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.

 Пример:

  

 Если a = 1, то

Следовательно, несобственный интеграл

 

Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов применяется признак сравнения:

Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: и несобственный интеграл  сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл .

Доказательство: В силу сходимости  по критерию Коши для функции , выполняется неравенство . Но тогда, ввиду неравенств:  аналогично неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.

Следовательно, по критерию Коши существует предел:

, т.е. этот интеграл сходится.

Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов 2 рода.

Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если несобственный интеграл  расходится, то расходится и несобственный интеграл .

Эйлеровы интегралы G(a) и B(a, b).

Определим функцию G(a) равенством:

.

Покажем, что интеграл сходится при a > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

 

и докажем сходимость каждого из этих интегралов при a > 0.

Обозначим  и .

Если xÎ(0, 1], то: . Так как интеграл , как это было доказано выше сходится при 1 - a< 1, т.е. при a>0, то по признаку сравнения интеграл  сходится при a>0. Если xÎ[1, + ) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: .

 Заметим, что , т.е. этот интеграл сходится при любых aÎR. Следовательно, функция Эйлера G(a) = G1(a) + G2(a) определена для всех a>0.

Далее, определим функцию B(a, b) =  и докажем, что эта функция определена для любых a>0 и b>0.

Обозначим:  и .

Если xÎ(0, 1/2], то . Интеграл  сходится по признаку сравнения 1 - a<1, т.е. при a>0 и при любых значениях b. Заметим, что, если в интеграле B2(a, b) сделать замену t = 1 – x, то мы B1(b, a), который, как мы выяснили, сходится при b>0 и при любых a.

Следовательно, функция Эйлера B(a, b) = B1(a, b) + B2(a, b) определена для любых a>0 и b>0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:

G(1) = 1

G(a + 1) = aG(a),  a>0

G(n + 1) = n!, nÎN

G(a)G(1 - a) = , 0<a<1

G(1/2) =

B(a, b) =

Пример:

Вычислить интеграл вероятности .

В силу чётности функции  интеграл вероятности можно представить в виде:

  .

Сделав в этом интеграле замену t = x2 , получим следующий интеграл:

 

Интегралы и дифференциальные уравнения

Задача 1.

Найти первообразные функций и проверить дифференцированием результаты в пп. а) и в).

а) б) в) г)

   

Задача 2.

Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница. В п.б) вычислить также приближенно по формуле прямоугольников и трапеций (n=8 или 10).

а) б) в)

  

Задача 3.

Найти общее решение дифференциальных уравнений.

а) б) в)

y’’+3y’-4y=0  dy-xydx = -4xdx 

Задача 4

Найти решение начальной задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка. Сравнить точный ответ (аналитическое решение) с приближенным, полученным путем решения начальной задачи Коши методом Эйлера. При вычислениях рекомендуется использовать MS Excel. Шаг интегрирования и верхний предел интегрирования подобрать самостоятельно.

23.

Задача 5

Найти решение начальной задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить точный ответ (аналитическое решение) с приближенным, полученным путем решения начальной задачи Коши методом Эйлера (предварительно преобразовать уравнение второго порядка в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка). При вычислениях рекомендуется использовать MS Excel. Шаг интегрирования и верхний предел интегрирования подобрать самостоятельно.

23.

Целью изучения математики является - повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.
На главную