Определители.( детерминанты).

 Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

 det A = , где (1)

М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

 det A =  (2)

 Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

 detA = , i = 1,2,…,n. (3)

 Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 Определитель единичной матрицы равен 1.

 Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

 Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

 det A = det AT; 

Сойство 2. det ( A ± B) = det A ± det B.

Свойство 3. det (AB) = detA×detB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

 Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ± d2  , e = e1 ± e2 , f = f1 ± f2 , то верно:

 Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

 Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;  det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 –

 – 152 = -26.

Элементарные преобразования.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

  1) умножение строки на число, отличное от нуля;

 2) прибавление к одной строке другой строки;

 3) перестановка строк;

 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

 5) транспонирование;

 Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие "бесконечно малой величины", создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).
На главную