Миноры.

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

 Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

 Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

 Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения.

 Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

 В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

 Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

  Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

 Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

 Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0, i ¹ j,

eij = 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

  Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

 

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где Мji- дополнительный минорэлемента аji матрицы А.

 Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Cвойства обратных матриц.

 Укажем следующие свойства обратных матриц:

(A-1)-1 = A;

 2) (AB)-1 = B-1A-1

 

 3) (AT)-1 = (A-1)T.

 

 При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить програрамму, которая находит обратную матрицу и подробно описывает весь ход решения для матрицы размера 3х3.

  Для запуска программы дважды щелкните на значке

по строкам и нажмите Enter.

 Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Пример. Дана матрица А = , найти А3.

А2 = АА =  = ; A3 = = .

 Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

 Пример. Вычислить определитель .

 = -1

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

 

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

 Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

 В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

  Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

 Очень важным свойством элементарных преобразованийматриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

 Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

  Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

 Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

 Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

 

 Пример. Определить ранг матрицы.

~ ~ RgA = 2.

 Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~ Rg = 2.

 

Пример. Определить ранг матрицы.

~, Þ Rg = 2.

 Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие "бесконечно малой величины", создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).
На главную