Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


Интегралы и их приложения

Основные определения и формулы. Функция F(x) является первообразной функции f(x), если на некотором множестве X выполняется равенство F¢(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом, если F(x) – какая-либо из первообразных f(x), то , константа C пробегает все множество действительных чисел. В таблице 2 приводятся основные формулы, в которых u=u(x).

Таблица 2

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) ,

9) 

10) 

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул 11), 13) и 15) соответственно.

Если f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

  , (5.1)

где F(x) – какая-либо первообразная для f(x). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.

И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):

,

.

Пример 5.1. Найти: а) ; б) .

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а) ; б) .

Решение. В примере а) можно заметить, что , а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:

В случае б) , а потому в силу11) при   получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;

.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида , то можно положить  или .

Пример 5.3 Найти:  а) ; б) .

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11)).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии - геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге "Начала" (300 лет до н. э.).
На главную