Кривые второго порядка.

 Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

 Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

 - уравнение эллипса.

 - уравнение “мнимого” эллипса.

 - уравнение гиперболы.

a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

y2 = 2px – уравнение параболы.

y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

 

Окружность.

  В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).

 Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

 Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4);  R = 11/4.

Эллипс.

 Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

 Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 у

 М

 r1 

 r2

 F1  O F2 х

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

  Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

 Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

 Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

 Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

 Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

  Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

 Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r1 = a – ex, r2 = a + ex.

 Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.

 С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

 Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

 Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

 Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =  

Итого: .

 

Гипербола.

 Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

 y

 M(x, y)

 b

 r1

  r2

 x

 F1 a F2

 c

 По определению ïr1 – r2ï= 2a.  F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

 Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

 Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

  Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

 Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

  С учетом того, что с2 – а2 = b2:

 Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

  Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

 Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

 Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

 y

 a/e d

 M(x, y)

 r1

  0 a F1 x

OF1 = c

 Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)2 + y2 = r2

 Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

 Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c2 = a2 – b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.

 


 

Уравнение гиперболы: .

 Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

 Итого:  - искомое уравнение гиперболы.

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта - метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
На главную