Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

 Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

 Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

 Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

 Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

 Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

 На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).

 

 Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что -  = .

Т.к. векторы и  коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

  Итого, можно записать: =  + t.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

 Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

 Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

 Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

 .

 

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

 

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

 Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

 Кроме того, для точки М1 можно записать:

.

 Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве.

 Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

  Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

×+ D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

  Пусть в пространстве заданы две плоскости: ×+ D1 = 0 и ×+ D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).

 Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

 

 Общие уравнения прямой в координатной форме:

 

 Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

 Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

 При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

 Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

 Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

 Находим компоненты направляющего вектора прямой.

 Тогда канонические уравнения прямой:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

 Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

  Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

Итого:

Угол между плоскостями.

 


 

  Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j1 соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1, т.е.

cosj = ±cosj1.

  Определим угол j1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

 Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

 Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 

 Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

 Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ïï.Это условие выполняется, если: .

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта - метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
На главную