Цилиндрическая и сферическая системы координат.

 Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

 

  Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее.

 z

 М

 r

 j  h

 0 q x

 r

 M1

  y

 ОМ1 = r; MM1 = h;

 Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

 Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

 h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq = ; sinq = .

Связь сферической системы координат с

декартовой прямоугольной.

 В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

Линейное (векторное) пространство.

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

 Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

 Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

 Эти операции обладают свойствами:

 1) Коммутативность + = +

2) Ассоциативность (+) + = + (+)

3)Существует такой нулевой вектор , что +=для "Î L

4) Для "Î L существует вектор  = -, такой, что +=

 5)1× =

 6) a(b) = (ab)

 7) Распределительный закон (a + b) = a+ b

 8) a(+) = a+ a

 Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

 Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

 Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Свойства линейных пространств.

 1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.

 2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.

 3) Для каждого Î L верно 0× = 0

 4) Для каждого a Î R и Î L верно a×=

 5) Если a× = , то a = 0 или  =

 6) (-1)  = -

 

Линейные преобразования.

  Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.

 Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A

A(a) = aA

 Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

 Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

  Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

 Определение: Если  только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

  Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

 Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Матрицы линейных преобразований.

  Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a11+ a21+…+ an1

A= a12+ a22+…+ an2

……………………………….

A= an1+ an2+…+ ann

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

  Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.

, где

……………………………..

 Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А×

 Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор  линейным преобразованием с матрицей А, а вектор  в вектор  линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор  в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

 Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

С = В×А

Т.е.

 Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. 

 Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A.

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

 Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

  Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

 Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

в некотором базисе .

 Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

 или 

 Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

 Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

 Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

 Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

 Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта - метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
На главную