Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

 , (5.2)

для определенного

 , (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции , то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv.

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические () или логарифмические () функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а) ; б) .

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно, полагаем . Тогда . Далее, , а потому . Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил.

5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)-16).

Пример 5.5. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. В случае а) действуем следующим образом:

,

поэтому (с учетом 13) )

При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе (), получим:

Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем: . В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:

.

Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:

В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:

.

Далее проводим замену переменной () и окончательно имеем:

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида  (где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.

1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: .

2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например, n=2k+1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. ). В оставшемся выражении  с помощью основного тригонометрического тождества  выражают через  (). После преобразования подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида , каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из таблицы 2: .

Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

 ; (5.4)

 ; (5.5)

 . (5.6)

Пример 5.6. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx, поэтому действуем по второму правилу, учитывая, что .

В примере б) воспользуемся формулой (5.4), линейностью неопределенного интеграла, равенством  и табличной формулой 4):

В случае в) последовательно понижаем степень, учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе. В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии - геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге "Начала" (300 лет до н. э.).
На главную