Правила вычисления неопределенных интегралов

.

.

Если  непрерывно дифференцируема, то .

Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией. Заметим, что

Покажем это. Обозначим ах + b = t. Найдем дифференциал функции adx = dt. Выразим  или .

  хndx = at   .**

 Как видно из 1,2 это правило основано на методе замены переменной, но замена проста и очевидно, что ее легко выполнить «в уме».

  cos x dx = d sin x, sin x dx = –d cos x,

.

 Пример 4.

.

 Проверка.

  .

 При дифференцировании получим подинтегральную функцию, следовательно интеграл взят верно.

 

  Пример 5.

.

 Проверка.

 

.

 

 Получим подинтегральную функцию, значит интеграл взят верно.

  Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно возвести в степень 51 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предложенного здесь метода.

 Пример 6.

 

.

  Пример 7.

.

 Пример 8.

.

  Пример 9.

.

 Пример 10.

.

 

Интегрирование по частям

 Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл . Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и хb, е2х и sin b x, x и ln x, и arctg x и т.п.

 Пример 1.

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция не является произведение «разводных» функций х и cos x.

 Пример 2.

 

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция является алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле.

 Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообразной функции.

 Пример 3. Вычислим .

 Решение. Имеем

.

2 I = ex(cos x + sin x).

Поэтому

.

  Пример 4. Вычислим .

 Решение. Имеем

,

поэтому

.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является "воображаемая геометрия" Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.
На главную