Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


Правила вычисления неопределенных интегралов

.

.

Если  непрерывно дифференцируема, то .

Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией. Заметим, что

Покажем это. Обозначим ах + b = t. Найдем дифференциал функции adx = dt. Выразим  или .

  хndx = at   .**

 Как видно из 1,2 это правило основано на методе замены переменной, но замена проста и очевидно, что ее легко выполнить «в уме».

  cos x dx = d sin x, sin x dx = –d cos x,

.

 Пример 4.

.

 Проверка.

  .

 При дифференцировании получим подинтегральную функцию, следовательно интеграл взят верно.

 

  Пример 5.

.

 Проверка.

 

.

 

 Получим подинтегральную функцию, значит интеграл взят верно.

  Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно возвести в степень 51 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предложенного здесь метода.

 Пример 6.

 

.

  Пример 7.

.

 Пример 8.

.

  Пример 9.

.

 Пример 10.

.

 

Интегрирование по частям

 Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл . Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и хb, е2х и sin b x, x и ln x, и arctg x и т.п.

 Пример 1.

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция не является произведение «разводных» функций х и cos x.

 Пример 2.

 

.

  Здесь в интеграле подынтегральная функция является алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле.

 Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообразной функции.

 Пример 3. Вычислим .

 Решение. Имеем

.

2 I = ex(cos x + sin x).

Поэтому

.

  Пример 4. Вычислим .

 Решение. Имеем

,

поэтому

.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является "воображаемая геометрия" Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.
На главную