Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

  Рассмотрим интегралы вида

I. .

II. .

III. .

IV. .

 Выделяя из квадратного трехчлена ах2 +bx + c полный квадрат запишем его в виде ах2 +bx + c = а(х +b)2 + q. Если в интегралах I, II, III сделать замену х + b = z, то получим интегралы

I¢. .

II¢. .

III¢. .

 Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сводится к вычислению интегралов вида

, , ,

,

каждый из которых представляет собой комбинацию двух интегралов, один из которых табличный, а другой сводится к табличному, применяя равенство d(z2 ± a2) = 2z dz. Интегралы  и  не входят в таблицу (см. таблицу простейших интегралов), но они уже были вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встречаются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то предлагается соответствующие первообразные просто запомнить. Поэтому эти интегралы также называют табличными:

.

.

  Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Так как х2 + 4х + 7 = (х + 2)2 + 3, то полагая х + 2 = z,

имеем

.

  Пример 2. Вычислим

.

  Решение. Так как

, то полагая , имеем

.

  Пример 3. Вычислим

.

  Решение. Так как , то

.

Для вычисления интеграла * делаем в нем замену х – а = z, тогда получаем интеграл

.

Подынтегральная функция непрерывна на лучах х > a, а тогда z > 0. Такой же выбор в подобных ситуациях применяется и далее без особой оговорки. Полагая , получаем табличный интеграл

.

  Пример 4. Вычислим

.

  Решение. Полагая х – 2 = z, имеем при z > 0

.

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

 Итак, интегрирование рациональной функции приводится к интегрированию дробей вида:

I. ; II. ;

III. ; IV. .

(трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней). Для дробей вида I, II, III соответственно имеем :

;

;

(так как x2 + px + q не имеет действительных корней, то ). При вычислении интеграла IV поступим следующим образом: представим линейную функцию в числителе в виде комбинации производной квадратного трехчлена и константы, т.е.

.

Рассмотрим интеграл

.

Выделением полного квадрата  и заменой он приводится к виду .

 Для вычисления такого интеграла используется подстановка z = b tg u или выводится рекуррентное соотношение, позволяющее понизить степень m в знаменателе интегрированием по частям. Действительно, представляя Im в виде комбинации Im-1 и и вычисляя последний интегрированием по частям, получим:

.

 Для нахождения неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей правую часть искомого разложения (1) приводят к общему знаменателю (им будет многочлен Q(x)) и у получившегося в числителе многочлена, и у многочлена Р(ч) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х. Таким образом, получается система линейных уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты (в алгебре доказывается ее однозначная разрешимость).

  Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Разложение дроби  в сумму простейших дробей ищем в виде

  (2)

Приводя в (2) к общему знаменателю правую часть, имеем

.

Приравнивая числители дробей, получаем тождество:

х = А(х – 2)2 +В(х + 1)(х – 2) + С(х + 1) (3)

Перепишем его в виде:

х = (А + В)х2 + С – В – 4А)х + (4А – 2В + С).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Откуда .

Следовательно,

.

  Иногда полезно, полученное приравниванием многочлена Р(х) к числителю дроби, полученной после приведения к общему знаменателю простейших дробей, подставлять вместо х некоторое специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя данной рациональной дроби). В результате получаются линейные уравнения относительно искомых коэффициентов, хотя следует помнить, что подстановке произвольных чисел полученные уравнения могут быть зависимыми.

 Применим этот метод к предыдущему примеру, полагая в тождестве (3) х = 2, имеем 2 = 3С, откуда с = 2/3. Полагая х = –1, имеем –1 = 9А, откуда А = –1/9. Полагая х = 0, имеем 0 = 4А – 2В + С, откуда с учетом найденных А = –1/9 и С = 2/3 имеем В = 4А + С/2 = 1/9.

  Пример 2. Вычислим

.

  Решение. Разложение дроби  в сумму простейших дробей ищем в виде: .

Коэффициенты А, В, С, D и Е определим, исходя из тождества 3х – х + 2 = = А(1 + х2)2 +(Вх + С)(х – 1)(1 + х)2 +(Dx + Е)(х – 1).

Полагая х = 1, находим А = 1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе уравнений:

Откуда находим, что А = 1, остальные коэффициенты: В = –1, С = –1, D = 1, Е = 0.

Следовательно,

.

  Так как разложение на простейшие дроби часто требует громоздких выкладок, то иногда при вычислении интегралов от рациональной функции полезно производить некоторые преобразования, делать замены переменных, позволяющие упростить вычисления данных интегралов.

 Пример 3.

 

 Пример 4.

.

  Пример 5.

.

  Пример 6.

.

  Пример 7.

.

  Пример 8. Для х ¹ 0

.

  Пример 9.

.

  Пример 10.

.

  Пример 11.

.

  Пример 12. Вычислим

.

  Решение.

;

.

Следовательно,

.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную