Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


Интегрирование некоторых тригонометрических функций

 Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Замечание. Любое рациональное выражение R (u, v) всегда можно представить в виде суммы трех выражений, рассмотренных в пунктах I, II, III:

.

  Пример 2. Вычислим

.

  Решение.

.

Так как R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то полагая tg x = t, имеем

.


Пример 3. Вычислим

 Решение. Пусть

.

Так как R(–sin x, cos x) = –R(sin x, cos x), то полагая cos x = t, имеем

  Пример 4. Вычислим

.

  Решение.

  Иногда, если это не нарушает рациональности подынтегрального выражения, полезно понизить степени sin x и cos x, используя переход к кратным углам.

 Пример 5. Вычислим

.

 Решение. Применяя формулы

,

имеем

.

Полагая tg 2x = t, находим

.

  Рассмотрим некоторые специальные методы.

 Приме 6. Вычислим

.

  Решение. Представим числитель (sin x – 3 cos x) в виде линейной комбинации знаменателя (4sin x + 5cos x) и его производной, т.е.

sin x – 3cos x = A(4sin x + 5cos x) + В(4cos x – 5sin x).

Для нахождения коэффициентов А и В имеем систему

,

поэтому

.

  Пример 7. Вычислим

.

  Решение. Представим числитель (2sin x + cos x –1) в виде линейной комбинации знаменателя (sin x – cos x + 2), его производной и константы, т.е.

2sin x + cos x – 1 = A(sin x – cos x + 2) + B(cos x + sin x) + C.

Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему

.

Поэтому

.

  Пример 8. Вычислим

.

  Решение. Представим выражение 2sin2x + 3sin x cos x + 5cos2x в виде

2sin2x + 3sin x cos x + 5cos2x = (А sin x + B cos x) (sin x – 2cos x) + + С (sin2x +cos2x).

Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему

.

Поэтому

.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

 I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы.

 При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде:

,

где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

 Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Положим , тогда , т.е. dx = 2tdt.

.

Разлагая рациональную функцию в сумму простейших дробей, имеем

.

  Пример 2. Вычислим

.

 Решение. Положим тогда , т.е. dx = 4t3dt и

.

  Пример 3. Вычислим

.

  Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду

.

Полагая  имеем

, ,

тогда

.

  II. Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

 Пример 4. Вычислим

.

  Решение. Полагаем

.

Дифференцируя это тождество, имеем

,

откуда

2(х3 – 2) = (4ах + 2b)(x2 + x + 1) + (ax2 + bx + c)(2x + 1) + 2l.

Для нахождения неопределенных коэффициентов а, b, c и l получаем систему уравнений:

.

  Следовательно,

.

б) Интеграл вида  подстановкой  приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте.

  Пример 5. Вычислим

.

  Решение. Положим  , тогда  и для t > 0 имеем

.

в) Рассмотрим вычисление интеграла .

Предположим вначале, что ах2 + bx + c = a(x2 +px + q).

Тогда

.

Поскольку

,

то

.

Первый из полученных интегралов табличный.

 Для вычисления интеграла  применяется подстановка Абеля: .

 В общем случае, т.е. если отношение трехчленов ах2 + bx + c и x2 + px + q непостоянно, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли члены с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки , если , и , если .

 В результате получаем интеграл .

Для вычисления этого интеграла представим его в виде

.

К первому из этих интегралов применяем подстановку ; а ко второму – подстановку .

 Пример 6. Вычислим

.

  Решение. Полагаем ,

тогда

4t2(x2 + x + 2) = 4x2 + 4x + 1 = 4(x2 + x+ 2) – 7,

откуда

.

Дифференцируя равенство

,

имеем

,

откуда

.

Итак,

,

поэтому

 

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную