Интегрирование некоторых тригонометрических функций

 Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Замечание. Любое рациональное выражение R (u, v) всегда можно представить в виде суммы трех выражений, рассмотренных в пунктах I, II, III:

.

  Пример 2. Вычислим

.

  Решение.

.

Так как R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то полагая tg x = t, имеем

.


Пример 3. Вычислим

 Решение. Пусть

.

Так как R(–sin x, cos x) = –R(sin x, cos x), то полагая cos x = t, имеем

  Пример 4. Вычислим

.

  Решение.

  Иногда, если это не нарушает рациональности подынтегрального выражения, полезно понизить степени sin x и cos x, используя переход к кратным углам.

 Пример 5. Вычислим

.

 Решение. Применяя формулы

,

имеем

.

Полагая tg 2x = t, находим

.

  Рассмотрим некоторые специальные методы.

 Приме 6. Вычислим

.

  Решение. Представим числитель (sin x – 3 cos x) в виде линейной комбинации знаменателя (4sin x + 5cos x) и его производной, т.е.

sin x – 3cos x = A(4sin x + 5cos x) + В(4cos x – 5sin x).

Для нахождения коэффициентов А и В имеем систему

,

поэтому

.

  Пример 7. Вычислим

.

  Решение. Представим числитель (2sin x + cos x –1) в виде линейной комбинации знаменателя (sin x – cos x + 2), его производной и константы, т.е.

2sin x + cos x – 1 = A(sin x – cos x + 2) + B(cos x + sin x) + C.

Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему

.

Поэтому

.

  Пример 8. Вычислим

.

  Решение. Представим выражение 2sin2x + 3sin x cos x + 5cos2x в виде

2sin2x + 3sin x cos x + 5cos2x = (А sin x + B cos x) (sin x – 2cos x) + + С (sin2x +cos2x).

Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему

.

Поэтому

.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

 I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы.

 При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде:

,

где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

 Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Положим , тогда , т.е. dx = 2tdt.

.

Разлагая рациональную функцию в сумму простейших дробей, имеем

.

  Пример 2. Вычислим

.

 Решение. Положим тогда , т.е. dx = 4t3dt и

.

  Пример 3. Вычислим

.

  Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду

.

Полагая  имеем

, ,

тогда

.

  II. Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

 Пример 4. Вычислим

.

  Решение. Полагаем

.

Дифференцируя это тождество, имеем

,

откуда

2(х3 – 2) = (4ах + 2b)(x2 + x + 1) + (ax2 + bx + c)(2x + 1) + 2l.

Для нахождения неопределенных коэффициентов а, b, c и l получаем систему уравнений:

.

  Следовательно,

.

б) Интеграл вида  подстановкой  приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте.

  Пример 5. Вычислим

.

  Решение. Положим  , тогда  и для t > 0 имеем

.

в) Рассмотрим вычисление интеграла .

Предположим вначале, что ах2 + bx + c = a(x2 +px + q).

Тогда

.

Поскольку

,

то

.

Первый из полученных интегралов табличный.

 Для вычисления интеграла  применяется подстановка Абеля: .

 В общем случае, т.е. если отношение трехчленов ах2 + bx + c и x2 + px + q непостоянно, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли члены с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки , если , и , если .

 В результате получаем интеграл .

Для вычисления этого интеграла представим его в виде

.

К первому из этих интегралов применяем подстановку ; а ко второму – подстановку .

 Пример 6. Вычислим

.

  Решение. Полагаем ,

тогда

4t2(x2 + x + 2) = 4x2 + 4x + 1 = 4(x2 + x+ 2) – 7,

откуда

.

Дифференцируя равенство

,

имеем

,

откуда

.

Итак,

,

поэтому

 

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную