Сходимость несобственных интегралов

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем: 

(1б)  

(1в)  где a<c<b.

 Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

 Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

 a).   б).  в). 

Решения.  а).  этот предел не существует; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

 б).  

  стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

 в). 

;  стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

 Упражнение 1. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

а). ; б). ; в). .

  Для сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла, а именно: наряду с линейностью интеграла имеют место формулы Ньютона-Лейбница, замены переменной и интегрирования по частям.

 Пример 2. Вычислить интегралы:

а). ; б). ; в). .

  Решения. а). 

.

  б). .

в).

.

  Упражнение 2. Вычислить интегралы: 

а).  ; б). ; в). .

 В ряде случаев несобственный интеграл по бесконечному промежутку с помощью замены переменной преобразуется в собственный интеграл. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть  ; если , *; если   Далее, имеем:  (это уже собственный интеграл) = .

ß 2. Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных функций

  Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о несобственном интеграле от разрывной функции или второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2) 

 Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

  Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

a).  б).  в). 

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции   находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .

 б). Исследуемый интеграл с одной особенностью в точке . Далее имеем: ;  стало быть, интеграл сходится и величина его равна .

 в). В этом интеграле имеем две особые точки и  соответственно на нижнем и верхнем концах промежутка интегрирования. По этой причине исследуемый интеграл разобьём на два интеграла, в каждом из которых будет по одной особенности. Итак, имеем:  

; стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

 Упражнение 3. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

а). ; б). ; в). .

 Как и в случае несобственных интегралов по бесконечному промежутку для сходящихся несобственных интегралов от разрывных функций также сохраняются основные свойства и формулы определенного интеграла.

 Пример 4. Вычислить интегралы:

а). ; б). .

 Решения. а). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Проведём интегрирование по частям: пусть , ; тогда , ; далее имеем:

, так как 

. Стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна (-4).

  б). Данный интеграл имеет одну особенность в точке , подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть , ; если , ; если , ; при этом исходный интеграл преобразуется следующим образом :

 стало быть, исследуемый интеграл сходится и величина его равна .

 Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежутку несобственные интегралы от разрывных функций могут превращаться в собственные интегралы при некоторых заменах переменных. Так, например, вычислим интеграл:  Интеграл имеет одну особенность в точке  где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Сделаем замену переменной: пусть   если  если  При этом заданный несобственный интеграл преобразуется в собственный интеграл следующим образом:  (это уже собственный интеграл )

 Несобственные интегралы от разрывных функций в некоторых случаях могут превращаться в собственные интегралы при интегрировании по частям. Так, например, вычислим интеграл:  Этот интеграл имеет одну особую точку , где подынтегральная функция обращается в бесконечность. Реализуем метод интегрирования по частям: пусть   и , тогда  и  далее имеем:  (это уже собственный интеграл, который равен   ).

 Упражнение 4. Вычислить интегралы:

а). ; б). ; в). .

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную