Преобразования несобственных интегралов от одного типа к другому

  Если первообразная в несобственных интегралах определяется без затруднений, то вычисление самого интеграла через предельный переход (который зачастую и не выписывается, а лишь подразумевается в целях упрощения выкладок) не вызывает особых сложностей. Если же первообразную найти затруднительно или же встаёт вопрос о её существовании при разрыве подынтегральной функции, то желательно установить сходимость или расходимость исследуемого интеграла вообще без попыток определения первообразной. Такую возможность дают признаки сходимости несобственных интегралов с одной особой точкой, которые будут рассмотрены в последующих параграфах. Эти признаки (критерии) сходимости или расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций во многом схожи, так как при некоторых допущениях на подынтегральную функцию несобственный интеграл второго рода (от разрывных функций) с помощью замены переменной можно привести к несобственному интегралу первого рода (по бесконечному промежутку ) и, наоборот, свести несобственный интеграл первого рода к несобственному интегралу второго рода.

 Пусть в несобственном интеграле второго рода  подынтегральная функция непрерывна при Точка  есть особая точка, где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или вовсе не определена. Тогда согласно определению несобственного интеграла от разрывной функции (формула (2)) имеем: (*) . Сделаем замену переменной: пусть , , ; если , то ; если , то ; . Левую часть равенства (*) выражаем через новую переменную:  (**) . Если интеграл  сходится, то существует конечный предел: . Из равенства (**) следует, что и для интеграла  существует конечный предел: . Итак, можно сказать, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку  влечёт сходимость несобственного интеграла от разрывной функции , , причём имеет место и равенство этих интегралов.

Преобразование несобственного интеграла по бесконечному промежутку в несобственный интеграл от разрывной функции можно осуществить также с помощью замены переменной. Пусть имеем: . Сделаем замену переменной: , ; если , то ; если , то . Итак, имеем: , то есть получаем интеграл от разрывной функции в точке .

Приведём пример, где вычисление несобственного интеграла от разрывной функции осуществляется путём перехода к несобственному интегралу по бесконечному промежутку и далее с помощью интегрированию по частям получается окончательный результат. Итак, вычислим несобственный интеграл, от разрывной функции: . Решение. Так как , то имеем: . Сделаем замену переменной: пусть , тогда , ; если , ; если , . Далее, имеем: . Теперь проводим интегрирование по частям: , ; , ; , так как  .

§4. Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции  при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство:

(3)  .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при  (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

 Общий признак сравнения.  Пусть на полупрямой  имеются две неотрицательные функции  и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда  и из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла   и известных (в смысле сходимости) интегралов  и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

(4.1) 

(4.2)  сходится;

(4.3)  расходится;

(4.4) 

Из перечня возможных ситуаций при сопоставлении интегралов следует, что сходится «меньший» от сходящегося интеграла (формула (4.2)) и расходится «больший» от расходящегося интеграла (формула (4.3)); в остальных случаях сопоставления (формулы (4.1) и (4.4)) никакого заключения о поведении исследуемого интеграла сделать нельзя.

 Пример 5. Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

 Пример 6. Исследовать интегралы на сходимость, используя частный признак сравнения:

 а). ; б). .

Решения. а). Подынтегральная функция  на всем промежутке интегрирования непрерывна и меньше функции . Имеем следующее сопоставление интегралов исследуемого и опорного в виде частного и общего признаков сравнения: . Так как опорный интеграл сходится (формула (5)), то сходится и исследуемый интеграл (формула (4.2)).

б). Так как подынтегральная функция исследуемого интеграла  во всем промежутке интегрирования непрерывна и больше функции , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: . Интеграл в правой части неравенства расходится (формула (5)); стало быть, исследуемый интеграл тоже расходится (формула (4.3)).

Упражнение 6. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

В ряде случаев удобно пользоваться при сопоставлении интегралов так называемым предельным признаком сравнения, который состоит в том, что рассматривается предел отношения положительных подынтегральных функций сопоставляемых интегралов: опорного  и исследуемого  при . Если этот предел существует и конечен, то есть:

(6)  ,

то оба интеграла ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В частности, если функции и эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемые на промежутке . 

 Пример 7. Исследовать интегралы на сходимость:

  а). ; б). .

Решения. а). В качестве опорного интеграла возьмем сходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исходный интеграл сходится.

 б). В качестве опорного интеграла возьмем расходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

  Основная трудность при определении сходимости или расходимости исследуемого интеграла типа  с помощью признаков сравнения состоит в выборе опорного интеграла. В ряде случаев можно реализовать следующую методику. 1). Исследуем подынтегральную функцию исходного интеграла; если особенностей у исходного интеграла больше, чем одна, то разбиваем промежуток интегрирования так, чтобы на каждом участке интегрирования было по одной особенности. 2). Пытаемся упростить выражение подынтегральной функции с помощью эквивалентных преобразований при стремлении переменной к особой точке; полученное выражение можно принять за функцию  и исследовать интеграл . 3). Зная поведение интеграла , реализуем общий или предельный признаки сравнения.

 Пример 7а. Исследовать интегралы на сходимость или расходимость:

  1). ; 2). .

Решения. 1). Пусть ; при имеем: ; за функцию  можно принять ; тогда имеем реализацию предельного признака сравнения в виде: ; так как   расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

 2). Подынтегральная функция  непрерывна при , так как ; в качестве функции можно взять ; тогда предельный признак сравнения дает конечное значение, то есть: , а поскольку интеграл  сходится, то сходится и исследуемый интеграл.

  Упражнение 7. Исследовать интегралы на сходимость:

а).;  б).; в).; г)..

 

§5. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

  До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

  Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

  Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

  Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Решение: 

; стало быть, интеграл сходится абсолютно.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную