Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых


Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8)  .

При выполнении условий, налагаемых на функции  и  интеграл

(9) 

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

 Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Представим подынтегральную функцию этого интеграла в виде произведения двух функций, то есть: , где , а . Функция  интегрируема и ограничена на бесконечном промежутке, так как: , а . Поскольку все условия признака Дирихле (Формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл  сходится условно, ибо абсолютная сходимость этого интеграла места не имеет, что было показано в примере 8.

 Пример 10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл:

  Решение. Сначала сделаем в исследуемом интеграле замену переменной:

пусть , тогда ; если ; если ; итак, имеем:  где  является функцией интегрируемой и ограниченной на бесконечном промежутке (формула (7)), а  (выполняется формула (8)). Поскольку все условия признака Дирихле (формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл   сходится. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим интеграл . Т.к.  при , то  . Интеграл  сходится по признаку Дирихле, а интеграл  расходящийся; стало быть, интеграл  тоже расходящийся, при этом исследуемый интеграл  сходится условно.

 Упражнение 10. Установить условную сходимость интегралов Фронеля:

; .

 Интеграл типа (9) можно исследовать на условную сходимость ещё и с помощью так называемого признака сходимости Абеля, в котором так же исследуется структура подынтегральной функции, если её можно представить в виде произведения двух функций  и , на которые теперь наклкдываются следующие ограничения: интеграл от функции  по бесконечному промежутку, то есть:

(10) 

сходится, а функция  при  непрерывно дифференциируема, монотонна и непрерывна, а потому имеет конечный предел, то есть:

(11) , .

При выполнении указанных условий ((10) и (11)) интеграл типа (9) сходится.

Пример 11. Установить сходимость интеграла:  , используя признак Абеля.

Решение.  Исследуемый интеграл представим следующим образом: , где , а . Так как интеграл от функции  по бесконечному промежутку сходится (см. пример (8)), а , то все условия признака Абеля выполнены; стало быть, исследуемый интеграл сходящийся. Характер сходимости исходного итеграла (сходится условно или абсолютно) определится после исследования данного интеграла на абсолютную сходимость, для чего надо исследовать интеграл: . Так как , то .

 Интеграл  сходится по признаку Дирихле, так как , а . Интеграл  расходится, что можно установить по предельному признаку сравнения:  при ; тогда в кочестве сопоставляемой функции имеем , а , что означает расходимость интеграла . Стало быть, интеграл  тоже расходящийся. Теперь ясен и характер сходимости исходного интеграла : он сходится условно.

 Упражнение 11. Исследовать характер сходимости интеграла: .

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла . Возможные ситуации сопоставлений интегралов исследуемого и известного такие же, как это представлено в соотношениях . Далее, если существует, отличный от нуля, конечный предел:

 (12) ,

то интегралы  и  ведут себя одинаково: то есть сходятся или расходятся одновременно. В частности, если функции  и  эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке .

 В качестве частного признака сравнения несобственных интегралов от разрывных функций используется интеграл с параметром :

 (13) ,

который сходится при и расходится при . В самом деле, , откуда следует, что дробь, стоящая в правой части равенства терпит бесконечный разрыв при  и ; если же , то дробь разрыва не имеет и интеграл (13) сходящийся. В более общей форме частный признак сравнения несобственных интегралов от разрывных функций можно представить так:

 (13 а,б)  или ,

где, как и раньше, интегралы сходятся при  и расходятся при .

 Пример 12. Исследовать несобственные интегралы от разрывных функций на сходимость:

а). ; б). ; в). ; г). .

Решения. а). Так как на промежутке  имеет место неравенство: , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: .

Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится (формула(13)),то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.

 б). Пусть , а ; тогда имеем сопоставление интегралов: опорного (формула(13а))  и исследуемого в виде предельного признака сравнения (формула (12)):  ; так как опорный интеграл расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

 в). Используем методику поиска опорного интеграла, описанную для несобственных интегралов первого рода:

1)., что означает, что подынтегральная функция имеет одну особенность в точке , где она терпит бесконечный разрыв (при вычислении предела использовалась эквивалентность функций при , а именно: ).

2). в качестве сопоставляемой функции используем  , которая эквивалентна функции   при ; то есть: , а поскольку интеграл  сходящийся (формула(13)), то и исследуемый интеграл тоже сходящийся.

 г). Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке , так как . Исследуя разложение функции  в точке , будем иметь: ; в качестве функции  возьмём ; тогда предельный признак сравнения даёт: , а поскольку  расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

Упражнения 12. Исследовать интегралы на сходимость:

 а) ; б); в); г).

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную