Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7)  ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8)  .

При выполнении условий, налагаемых на функции  и  интеграл

(9) 

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

 Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Представим подынтегральную функцию этого интеграла в виде произведения двух функций, то есть: , где , а . Функция  интегрируема и ограничена на бесконечном промежутке, так как: , а . Поскольку все условия признака Дирихле (Формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл  сходится условно, ибо абсолютная сходимость этого интеграла места не имеет, что было показано в примере 8.

 Пример 10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл:

  Решение. Сначала сделаем в исследуемом интеграле замену переменной:

пусть , тогда ; если ; если ; итак, имеем:  где  является функцией интегрируемой и ограниченной на бесконечном промежутке (формула (7)), а  (выполняется формула (8)). Поскольку все условия признака Дирихле (формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл   сходится. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим интеграл . Т.к.  при , то  . Интеграл  сходится по признаку Дирихле, а интеграл  расходящийся; стало быть, интеграл  тоже расходящийся, при этом исследуемый интеграл  сходится условно.

 Упражнение 10. Установить условную сходимость интегралов Фронеля:

; .

 Интеграл типа (9) можно исследовать на условную сходимость ещё и с помощью так называемого признака сходимости Абеля, в котором так же исследуется структура подынтегральной функции, если её можно представить в виде произведения двух функций  и , на которые теперь наклкдываются следующие ограничения: интеграл от функции  по бесконечному промежутку, то есть:

(10) 

сходится, а функция  при  непрерывно дифференциируема, монотонна и непрерывна, а потому имеет конечный предел, то есть:

(11) , .

При выполнении указанных условий ((10) и (11)) интеграл типа (9) сходится.

Пример 11. Установить сходимость интеграла:  , используя признак Абеля.

Решение.  Исследуемый интеграл представим следующим образом: , где , а . Так как интеграл от функции  по бесконечному промежутку сходится (см. пример (8)), а , то все условия признака Абеля выполнены; стало быть, исследуемый интеграл сходящийся. Характер сходимости исходного итеграла (сходится условно или абсолютно) определится после исследования данного интеграла на абсолютную сходимость, для чего надо исследовать интеграл: . Так как , то .

 Интеграл  сходится по признаку Дирихле, так как , а . Интеграл  расходится, что можно установить по предельному признаку сравнения:  при ; тогда в кочестве сопоставляемой функции имеем , а , что означает расходимость интеграла . Стало быть, интеграл  тоже расходящийся. Теперь ясен и характер сходимости исходного интеграла : он сходится условно.

 Упражнение 11. Исследовать характер сходимости интеграла: .

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций

 Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (формулы (4) и (6)). Пусть функции  и , неотрицательные на промежутке  и интегрируемы на каждом отрезке ,. Тогда, если функции  и  удовлетворяют на промежутке  неравенству: , то имеем:  и из сходимости интеграла   следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла . Возможные ситуации сопоставлений интегралов исследуемого и известного такие же, как это представлено в соотношениях . Далее, если существует, отличный от нуля, конечный предел:

 (12) ,

то интегралы  и  ведут себя одинаково: то есть сходятся или расходятся одновременно. В частности, если функции  и  эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке .

 В качестве частного признака сравнения несобственных интегралов от разрывных функций используется интеграл с параметром :

 (13) ,

который сходится при и расходится при . В самом деле, , откуда следует, что дробь, стоящая в правой части равенства терпит бесконечный разрыв при  и ; если же , то дробь разрыва не имеет и интеграл (13) сходящийся. В более общей форме частный признак сравнения несобственных интегралов от разрывных функций можно представить так:

 (13 а,б)  или ,

где, как и раньше, интегралы сходятся при  и расходятся при .

 Пример 12. Исследовать несобственные интегралы от разрывных функций на сходимость:

а). ; б). ; в). ; г). .

Решения. а). Так как на промежутке  имеет место неравенство: , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: .

Поскольку интеграл в правой части неравенства сходится (формула(13)),то исследуемый интеграл тоже сходится согласно общему признаку сравнения несобственных интегралов.

 б). Пусть , а ; тогда имеем сопоставление интегралов: опорного (формула(13а))  и исследуемого в виде предельного признака сравнения (формула (12)):  ; так как опорный интеграл расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

 в). Используем методику поиска опорного интеграла, описанную для несобственных интегралов первого рода:

1)., что означает, что подынтегральная функция имеет одну особенность в точке , где она терпит бесконечный разрыв (при вычислении предела использовалась эквивалентность функций при , а именно: ).

2). в качестве сопоставляемой функции используем  , которая эквивалентна функции   при ; то есть: , а поскольку интеграл  сходящийся (формула(13)), то и исследуемый интеграл тоже сходящийся.

 г). Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке , так как . Исследуя разложение функции  в точке , будем иметь: ; в качестве функции  возьмём ; тогда предельный признак сравнения даёт: , а поскольку  расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

Упражнения 12. Исследовать интегралы на сходимость:

 а) ; б); в); г).

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную