Дифференциальные уравнения
Задача . Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Это уравнение вида
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение
получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение
. Получим
откуда
![]()
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид
позволяет сделать замену
и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем
,
Уравнение примет вид
Разделяем переменные и интегрируем:
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде
Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:
1)
2)
3)
Решение. Дифференциальное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие
Проверим его для каждого уравнения.
1.
Условие не выполняется.
2.
![]()
Условие выполняется, тогда
- уравнение в полных дифференциалах.
3.
Условие не выполняется.
Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)
Так как его корни действительны и различны (
), общее решение исходного уравнения имеет вид
или
Задача 30. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)
Паре корней
соответствует решение
![]()
Комплексным корням
соответствует решение
Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений
Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.
В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
На главную |