ПРИМЕР. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:

. Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл  или установить его расходимость.

Решение.

  Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

  - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .

Решение.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Проинтегрируем части последнего равенства:

.

Отсюда:

.

Окончательно имеем:

 - общее решение данного уравнения.

ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .

Решение.

Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений

 ,

которые решаются с помощью подстановки

.

Отсюда:

.

После подстановки в исходное уравнение получим:

.

Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя обе части, получим:

Используя обратную подстановку, получим:

Окончательно имеем обще решение в виде:

.

Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:

.

Искомое частное решение:

.

 

ИНТЕГРАЛЫ

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда  Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Задача 3. Вычислить .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где - многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

  Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим  Найдем

  Тогда

Задача 4. Вычислить .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , ,

  (- многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим  

Тогда

Получаем

Задача 5. Вычислить .

Решение. Выполним замену переменной:

Получим  

В подынтегральном выражении выделим целую часть:

Тогда

В интеграле  сделаем замену:

,

при этом

Возвращаясь к переменной х, получим

Задача 6. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида .

Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае ), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение

, следовательно, можно выполнить замену: .

В результате получим

Задача 7. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида  с чётными m и n (в данном случае ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени

,

получим

Задача 8. Вычислить .

Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)

,

получим

Задача 9. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Первый интеграл вычисляем, сделав замену , тогда . Имеем

Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: . Тогда с учетом формулы (14) получим

Итак, исходный интеграл равен

Задача 10. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены , тогда  Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

 

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен

Задача 11. Вычислить .

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида  (здесь R – рациональная функция;  - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае  Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку  

Тогда  и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что , получим

Задача 12. Вычислить .

Решение. При вычислении интегралов вида , где R – рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций, при этом

, .

Из равенства  находим .

В данном случае получаем

Сделаем замену

Тогда

Возвращаясь к переменной х, получим

Задача 13. Вычислить .

Решение. Интегралы вида , , , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам вида , если выполнить замену переменной:

- для первого интеграла  (или );

- для второго интеграла (или );

- для третьего интеграла  (или ).

Данный интеграл вычисляем заменой .

Тогда .

Получаем

.

,

тогда

Возвращаясь к старой переменной при , получаем

Индукция - метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок. Дедукция - способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера. Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
На главную