Электромагнетизм Курс лекций по оптике Интерференция света Дифракция света Квантовые явления Применение фотоэффекта Современная физика атомов и молекул Радиоактивное излучение и его виды

Постулаты Бора

Первая попытка построить качественно новую — квантовую — теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором (1885—1962). Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

  (39.5)

где me масса электрона, v — его скорость по n-й орбите радиуса rn,

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

  (39.6)

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Еn и Еm — соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При Еm <Еn происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при Еm >Еn — его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот v=(En —Em )/ h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Через два года, изучая методом задерживающего потенциала столкновения электронов с атомами газов (1913), Д. Франк и Г. Герц экспериментально доказали дискретность значений энергии атомов.

Спектр атома водорода по Бору

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем — систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He+, Li2+), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (39.1)  предложенное Резерфордом, и уравнение (39.5), получим выражение для радиуса n –ой стационарной орбиты:

 (39.7)

где n = 1, 2, 3,.... Из выражения (39.6) следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел.

Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым боровским радиусом (а), равен

 (39.8)

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов. Так как радиусы стационарных орбит измерить невозможно, то для проверки теории необходимо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экспериментально. Такой величиной является энергия, излучаемая и поглощаемая атомами водорода.

 Как нетрудно сообразить, между величиной радиуса с любым номером n и первым боровским радиусом существует простая аналитическая связь:

  (39.9)

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кинетической энергии  и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра :

 (учли, что  см. (39.1)). Учитывая квантованные для радиуса n-й стационарной орбиты значения (39.9), получим, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

  (39.10)

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии, в потенциальной яме глубиной Еn.

Из формулы (39.9) следует, что энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения n. Целое число п в выражении (39.10), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n > 1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.

Придавая п различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z= 1), согласно формуле (39.10), возможные уровни энергии, схематически представленные на рис. 39.1. Энергия атома водорода с увеличением п возрастает и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n = ¥. Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (E1 = - 13,55 эВ) при n = 1 и максимальной (Е¥=0) при n = ¥. Следовательно, значение E¥ = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора (см. (39.6)), при переходе атома водорода (Z = 1) из стационарного состояния п в стационарное состояние т с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения

  (39.11) 

где

Воспользовавшись при вычислении R современными значениями универсальных постоянных, получим величину, совпадающую с экспериментальным значением постоянной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода. Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы (39.10) для энергетических уровней водородоподобной системы.

Рис.39.1. Спектр атома водорода.

Подставляя, например, в формулу (39.11) m=l и n=2, 3, 4, .... получим группу линий, образующих серию Лаймана (см. § 209) и соответствующих переходам электронов с возбужденных уровней (n = 2, 3, 4, ...) на основной (m=l). Аналогично, при подстановке m = 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений n получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (часть из них схематически представлена на рис.39.1), описанные ранее. Следовательно, по теории Бора, количественно объяснившей спектр атома водорода, спектральные серии соответствуют излучению, возникающему в результате перехода атома в данное состояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного.

Спектр поглощения атома водорода является линейчатым, но содержит при нормальных условиях только серию Лаймана. Он также объясняется теорией Бора. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (стационарное состояние с наименьшей энергией при п= 1), то при сообщении атомам извне определенной энергии могут наблюдаться лишь переходы атомов из основного состояния в возбужденные (возникает серия Лаймана).

Теория Бора была крупным шагом в развитии атомной физики и явилась важным этапом в создании квантовой механики. Однако эта теория обладает внутренними противоречиями (с одной стороны, применяет законы классической физики, а с другой — основывается на квантовых постулатах). В теории Бора рассмотрены спектры атома водорода и водородоподобных систем и вычислены частоты спектральных линий, однако эта теория не смогла объяснить интенсивности спектральных линий и ответить на вопрос: почему совершаются те или иные переходы? Серьезным недостатком теории Бора была невозможность описания с ее помощью спектра уже атома гелия — одного из простейших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода.

Задача анализа процессов в цепи сводится к задачи Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальных условиями Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами. При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом, т.к. функции описывающие источники колебательного процесса - воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания - отклики, преобразуемы по Лапласу.
Квантовые усилители и генераторы