Электромагнетизм Курс лекций по оптике Интерференция света Дифракция света Квантовые явления Применение фотоэффекта Современная физика атомов и молекул Радиоактивное излучение и его виды

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы высотой Uo (рис. 41.3) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и записать

 

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е> Uo), либо отразится от него (при Е< Uo) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е>Uo, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<Uo имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>l. т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.

Оценим вероятность обнаружения частицы за потенциальным барьером, в свободном состоянии. Для описания частицы в свободном состоянии применяется y - функция вида

. (41.17)

Функция (41.17) получается из одномерной функции Шредингера

 

в котором для простоты принято А = 1 и t = 0, т.е. отсчет времени начинается от момента, когда частица проникнет за барьер, конкретный момент времени, когда это произойдет, не важен. (Вообще - периодическая функция, уравнение гармонических колебаний z = cos x - i×sin x).

 Тогда

 Y×Y* = w(x) – плотность вероятности события – нахождения частицы в данном интервале координат х>l.

В качестве конкретного примера рассмотрим движение частицы массой m в отсутствие внешних электрических полей.

Тогда в формуле (41.17)

, где 

В нерелятивистском случае  и ЕК = W – U(x), где ЕК – кинетическая энергия частицы, U(x) – её потенциальная энергия в точке с координатой х, W – полная энергия частицы.

Тогда

 (41.18)

Введем теперь в выражение (41.18) вместо U(x) конкретное значение Uo – высоту барьера. Поскольку Uo > E, то разность (Е – Uo) отрицательна, чтобы можно было оперировать с радикалом, преобразуем выражение для k, вынося из-под радикала величину,

Тогда Y - функция (41.17) приобретает вид

 (41.19)

Поскольку мнимая единица i исчезла, то Y - не периодическая функция.

Чтобы определить плотность вероятности w(x>l) обнаружения частицы в области (x>l) необходимо найти w(х) = Y×Y*, где Y* - сопряженная функция без мнимой части, т.к. Y - без неё. Должно было бы быть Y* = е-ikx, отбрасывая i, получаем

Тогда плотность вероятности обнаружения частицы за барьером, при x > l, называемая ещё «коэффициентом прозрачности барьера D» оказывается равным

 (41.20)

 Таким образом, обнаружение частицы, у которой ни в один момент времени полная энергия не превышает высоту барьера, оказывается ненулевой.

 Например, для электрона проводимости в металлах Uo – W » 10-3 эВ = 1,6×10-22 Дж. Глубина возможного проникновения за пределы металла хо, на которой плотность вероятности обнаружения частицы убывает в е раз, составит

Å ~ 3 параметра решетки.

 Численное исследование зависимости (41.20) показывает, что увеличение ширины барьера (0 – l) в 2 раза уменьшает величину D в 100 раз. D уменьшается с ростом массы m частицы и разности (Uo – W).

 Не имеет смысла в квантовой области из полной энергии W выделять ЕК – кинетическую составляющую и Епот – потенциальную составляющую, так как точное знание о ЕК означает точное знание импульса р, а точное знание Епот – точное значение координаты х (в одномерном случае). Последнее запрещено соотношением неопределенностей.

Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при W<Uo невозможно, так как частица, находясь внутри барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией.

Туннельный эффект лежит в основе многих явлений в области физики твердого тела и полупроводниковой техники (например, явления в контактном слое на границе раздела двух полупроводников, на границе полупроводник-металл и т.п.). Есть даже так называемые быстродействующие туннельные диоды. В атомной и ядерной физике туннельный эффект служит для объяснения a - распада, протекание некоторых термоядерных реакций.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, - является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и математический маятники - примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна

  (41.21)

где wо - собственная частота колебаний осциллятора, т — масса частицы. Зависимость (41.21) имеет вид параболы (рис. 41.5), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Рис. 41.5. Решение уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора. 

Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е. В точках с координатами ±xmax полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-xmax, +xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор в стационарном состоянии находится в «потенциальной яме» с координатами -xmax£x£xmax «без права выхода» из нее.

Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (41.7), учитывающим выражение (41.21) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

  (41.22)

где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (41.22) решается только при собственных значениях энергии

  (41.23)

Формула (41.23) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии . Существование минимальной энергии, — она называется энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице). Например, классическая физика приводит к выводу, что при Т= 0К энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль.

Задача анализа процессов в цепи сводится к задачи Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальных условиями Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами. При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом, т.к. функции описывающие источники колебательного процесса - воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания - отклики, преобразуемы по Лапласу.
Квантовые усилители и генераторы