Электромагнетизм Курс лекций по оптике Интерференция света Дифракция света Квантовые явления Применение фотоэффекта Современная физика атомов и молекул Радиоактивное излучение и его виды

Спектр. Квантовые числа п, l и ml позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора (см. рис. 40.2).

В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых: 1) изменение орбитального квантового числа Dl удовлетворяет условию

Dl = ±1; (42.9)

2) изменение магнитного квантового числа ml удовлетворяет условию

 D ml = 0, ±1.

В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с Dl=2. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадрупольных переходов (переходы с Dl = 2) во много раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора (42.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 42.2): серии Лаймана соответствуют переходы


np®1s (n =2,3,...);

серии Бальмера —

np®2s, ns®2p, nd®2p (n =3,4,...)

и т. д.

 Рис. 42.2. Спектр атома водорода.

Переход, электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например, за счет поглощения атомом фотона. Tax как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s® np (n = 2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.

1s-Состояние электрона в атоме водорода

1s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т.е. не зависит от углов q и j. Волновая функция y электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра, т. е. y = y100(r), где цифры в индексе соответственно указывают, что n =1, l = 0 и ml = 0. Уравнению Шредингера для

1s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида

  (42.10)

где, как можно показать,  — величина, совпадающая с первым боровским радиусом а  для атома водорода, С — некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки вероятностей.

Благодаря сферической симметрии y-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом r и толщиной dr: dV=4pг2dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей с учетом (42.10),

После интегрирования получим

  (42.11)

Подставив выражение (42.11) в формулу (42.10), определим нормированную волновую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме водорода:

  (42.12)

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема равна

Dw= |y|2 dV = y|2 4pr2 dr.

Подставив в эту формулу волновую функцию (42.12), получим

 

 Рис. 42.3. Графические решения уравнения Шредингера о наиболее вероятных расстояниях электрона до ядра атома водорода.

Вычислим те расстояния rmax от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Исследуя выражение dw/dr на максимум, получим, что rmax =а. Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома. Казалось бы, квантово-механический расчет дает полное согласие с теорией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r=а достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве.

На рис. 42.3 приведены плотности вероятности для случаев: 1) п = 1, l = 0;

2) п = 2, l = 1 и 3) п = 3, l = 2. За единицу масштаба для оси r принят радиус первой боровской орбиты a. На графиках отмечены радиусы соответствующих боровских орбит. Как видно из рисунка, эти радиусы совпадают с наиболее вероятными расстояниями электрона от ядра. Отметим, что ненулевой является и вероятность обнаружения электрона в точках пространства, отличающихся радиусом от боровских орбит. Но квантовая механика свидетельствует: в основном состоянии атома водорода наиболее вероятным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл боровского радиуса.

 

 

 

Задача анализа процессов в цепи сводится к задачи Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальных условиями Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами. При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом, т.к. функции описывающие источники колебательного процесса - воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания - отклики, преобразуемы по Лапласу.
Квантовые усилители и генераторы