Электромагнетизм Курс лекций по оптике Интерференция света Дифракция света Квантовые явления Применение фотоэффекта Современная физика атомов и молекул Радиоактивное излучение и его виды

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

  Рассмотрев уже известные нам физические явления – теплопроводности и диффузии – с позиции представлений неравновесной термодинамики, обратимся теперь к изложению основных законов и теорем этой отрасли физического знания.

 Используется феноменологический (макроскопический) подход [2]: феноменологические теории описывают явление в наиболее общем виде – устанавливаются основные закономерности явления – без использования модельных представлений о строении вещества и молекулярно-кинетическом механизме явления.

 Неравновесная термодинамика оперирует с теми же понятиями, что и равновесная, но в этом случае требуются некоторые существенные уточнения.

  Мы уже отмечали, что в термодинамическом равновесии уравнение состояния связывает основные термодинамические характеристики среды, например давление, объем (или плотность числа частиц), температуру. Все эти характеристики—макроскопические, но их однозначно можно связать с микроскопическими характеристиками (молекулярно-кинетическими), так как все они являются средними по системе соответствующих характеристик частиц. Например, температура Т связана со средней энергией теплового движения частиц, скорость движения центра масс системы - со средней скоростью частиц, плотность - со средним числом частиц в единице объема и т. д.

Очевидно, такие же характеристики можно приписать и подобъемам системы (но обязательно макроскопическим), т. е. можно говорить о температуре, скорости центра масс, плотности и т. д. подобъема, причем эти характеристики получаются за счет усреднения только по рассматриваемому подобъему. Поскольку подобъем уже не является изолированной системой, то средние по подобъему могут отличаться от среднего по объему всей системы (флуктуации), причем тем сильнее, чем меньше размер подобъема. Однако при усреднении по достаточно большому интервалу времени это среднее совпадает со средним по всей системе. Таким путем можно ввести понятие локальных макрохарактеристик - они относятся к некоторому подобъему и к определенному интервалу времени на шкале времени.

Можно говорить о мелкомасштабных и крупномасштабных флуктуациях, имея в виду время их существования (рассасывания). Когда рассматривают какой-либо макроскопический процесс, то можно ввести понятие о характерном интервале (масштабе) времени, при котором становится заметным изменение свойства, изменяющегося при рассматриваемом процессе. Мелкомасштабные флуктуации - это такие флуктуации, время существования которых много меньше характерного масштаба времени рассматриваемого процесса. Такие флуктуации формально можно исключить из формализма теории при изучении общих закономерностей протекания процесса путем своего рода неявного усреднения по интервалу времени, “съедающему” мелкомасштабные флуктуации. Очевидно, этот интервал много больше интервала времени существования флуктуации и в то же время он должен быть меньше масштаба времени процесса.

Аналогично исключаются из рассмотрения пространственные мелкомасштабные флуктуации.

Таким путем можно ввести понятие о гидродинамической пространственной координатной системе r(х, у, z) и гидродинамической шкале времени t, которые являются представителями локальных пространственных областей системы и интервалов времени, характеризуемых одним общим значением каждого параметра: плотности r, температуры Т и т.д. Другими словами, r и t являются представителями пространственных областей и временных интервалов, на которых по предположению проведено усреднение, “съедающее” мелкомасштабные флуктуации. Локальная область, представителем которой является r, называется физическим элементарным объемом, а введение такой системы координат и шкалы времени называется крупнозернистым огрублением пространства и времени.

Если в разных локальных областях (физических элементарных объемах) один или несколько макропараметров системы (плотность, температура и т. д.) имеют различные значения, то система находится в неравновесном состоянии и в ней происходят процессы переноса.

С другой стороны, отличие значений макропараметров в физических элементарных объемах от их средних значений по изолированной системе в целом есть не что иное, как крупномасштабная флуктуация. Поэтому, если на систему не действуют внешние силы, то процесс переноса по существу подчиняется тем же закономерностям, что и рассасывание крупномасштабной флуктуации соответствующего типа.

Описываются процессы переноса в общем виде уравнениями макроскопической физики типа гидродинамических уравнений, т. е. эти процессы описываются как эволюция в пространстве и времени в масштабе крупнозернистого огрубления, его называют иногда гидродинамическим масштабом.

Вообще говоря, переход от одного физического элементарного объема к соседнему (каждый из которых характеризуется своим представителем - пространственной координатой), или переход от одного интервала времени гидродинамического масштаба к следующему есть дискретная операция, и соответствующие уравнения должны быть, строго говоря, записаны как уравнения в конечных разностях. Но если рассматриваемое свойство при таком переходе меняется не сильно, то допустимо уравнения записывать в дифференциальной форме, а координаты пространства и время гидродинамического масштаба считать непрерывными величинами. Тогда макросвойства системы (плотность числа частиц или массовая плотность, плотность потока числа частиц или плотность импульса, плотность тепловой энергии и т. п.) можно рассматривать как непрерывные функции пространственной координаты r и времени t гидродинамического масштаба.

Уравнения баланса и законы сохранения

Обозначим любое из экстенсивных свойств (“увеличивающееся количественно”) в физическом элементарном объеме dr около точки r в момент времени t через G(t,r)dr. Тогда в самом общем виде величина G подчиняется уравнению баланса

 (47.11)

где JG - “плотность потока этого свойства”, sG - изменение величины G в рассматриваемом физическом элементарном объеме за счет наличия в последнем “источников” или “стоков” для свойства (ss - плотность источника или стока). Если член s равен нулю, то уравнение выражает закон сохранения.

Напомним, что физически наглядно закон сохранения свойства G выражается в интегральной форме, из которой дифференциальная легко получается при помощи теоремы Гаусса-Остроградского.

Например, уравнение

 (47.12)

выражает закон сохранения массы в локальной области неравновесной системы. Оно является также гидродинамическим уравнением непрерывности.

Вторым законом сохранения является уравнение для полной энергии W(t, r) физического элементарного объема. Плотность полной энергии rw (w—полная энергия на единицу массы) складывается из трех частей: плотности кинетической энергии движения вещества как целого   плотности потенциальной энергии ry в физическом элементарном объеме в поле внешних (по отношению к рассматриваемому элементарному объему) сил и из плотности внутренней энергии e, состоящей из кинетической энергии теплового движения частиц и потенциальной энергии их взаимодействия (вообще говоря, могут быть еще и другие составляющие, в зависимости от уточнения структуры вещества). Таким образом,

 (47.13)

Уравнение для каждой составляющей в принципе имеет вид (47.11), т. е. может содержать плотность источника. Но сумма трех плотностей источников равна нулю и для полной энергии имеем закон сохранения

 (47.14)

В соответствии с первым законом термодинамики, изменение полной энергии в локальном объеме однокомпонентной системы может произойти за счет конвективного приноса (или уноса) полной энергии потоком, плотность которого, очевидно, равна

  (47.15)

а также за счет приноса (или уноса) потока энергии JA, образованного механической работой, и потока тепла Jq.

В рамках феноменологической теории соотношения 

и

 (47.16)

могут формально рассматриваться как определения величин плотности внутренней энергии e и потока тепла Jq.

Таким образом, очевидно, что в макроскопическом уравнении переноса детально не отражаются быстрые релаксационные процессы, но в то же время их наличие предопределяет характерные черты процессов переноса и результат релаксации может учитываться гидродинамическим уравнением.

Итак, условие локальной квазиравновесности является основой для феноменологического построения теории неравновесных процессов. Но это, конечно, не значит, что условие квазиравновесности применимо для определения любого неравновесного процесса. Однако, если оно неприменимо, то формализм феноменологической теории для описания такого процесса непригоден.

В условиях полного равновесия справедливо соотношение термодинамики

dG=0,

где G - термодинамический потенциал системы, или, в развернутом виде (Мi - масса i-го компонента),

dE — TdS + PdV —  dMi = 0, (47.17)

где mi - химический потенциал i-го компонента. Если ввести удельные величины (на единицу массы), то

  (47.18)

где

 

Это уравнение рассматривают в феноменологической теории как уравнение, дающее возможность определить удельную энтропию s, т. е.

s=j(e, v, сi ..., cn)

при заданных Т и Р.

В случае локальной квазиравновесности делают допущение, что в точности такое же функциональное соотношение остается в силе, но теперь e, v, сi зависят от координаты и времени гидродинамического масштаба, т. е.

S = j[e(t, r), v(t, r), ci(t, r), ..., cn(t, r)]. 

Другими словами, учитывая, что здесь t и r имеют гидродинамический масштаб, это соотношение означает, что непрерывное изменение t и r соответствует непрерывному переходу s из одного локального квазиравновесного состояния в другое. Однако при этом следует еще учитывать изменение s в процессе релаксации к соответствующему квазиравновесному состоянию внутри физического элементарного объема за время, много меньшее характерного масштаба гидродинамической шкалы времени. Результат изменения s при такой релаксации также является функцией t и r. Это изменение происходит внутри рассматриваемого физического элементарного объема, т. е. в свете сказанного выше есть производство энтропии ss. Поскольку производство энтропии связано с переходом (релаксацией) системы в квазиравновесное состояние, то согласно второму закону термодинамики

ss ³ 0. (47.19) 

Таким образом, можно записать s(t, r), где t, r определяются в гидродинамическом масштабе, и можно рассматривать эволюцию s в пространстве и времени гидродинамического масштаба, причем при рассмотрении такой эволюции следует учитывать производство энтропии ss, которая тоже есть функция t и r, т. е. ss (t, r).

В связи с тем, что линии передачи сигналов являются составной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое применение получили методы теории электрических цепей. Возможность применения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи с большим числом бесконечно малых по величине пассивных элементов или, иными словами, о линии как о цепи с распределенными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим используются понятия о так называемых погонных (распределенных) параметрах линии: резистивном сопротивлении R0, индуктивности L0 , емкости С0 и проводимости Go единицы длины линии
Квантовые усилители и генераторы