Курс лекций по физике Основы специальной теории относительности (СТО) Основы классической динамики Законы Ньютона в классической механике

Движение твердого тела

Кинематика плоского движения твердого тела.

  Физической моделью, которую обычно используют для описания движения реальных тел, является уже упомянутая модель абсолютно твердого тела («система материальных точек, расстояние между которыми не меняется в процессе движения тела»).

  При этом необходимо добавить еще ряд ограничивающих предположений:

атомная структура строения тела не учитывается;

масса тела распределена в объеме тела равномерно и непрерывно.

Роль дискретной массы играет элементарная масса dm, заключенная в бесконечно малом объеме dV тела. Её величина определяется как

dm = r×dV, где r = r(V) – плотность.

Поэтому везде, где можно, вместо дискретных сумм вида

,

зачастую очень трудно определимых, следует применять интеграл , сложность вычисления которого определяется видом функции r(V).


Рассмотрим «плоское» движение однородного твердого тела произвольной формы (рис.7.1).

Рис.7.1. Описание плоского движения твердого тела.

Это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости. При этом плоская фигура Ф, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Р (рис.7.1,а), в процессе движения все время остается в этой плоскости, например цилиндр или шар, катящийся по плоскости без скольжения (но конус в подобном случае совершает уже более сложное движение).

Положение твердого тела при плоском движении однозначно определяется положением плоской фигуры Ф в неподвижной плоскости Р. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости.

Пусть плоская фигура Ф движется в своей плоскости Р, неподвижной в К-системе отсчета (рис.7.1,б). Положение фигуры Ф на плоскости можно определить, задав радиус-вектор ro произвольной точки O` фигуры и угол j между радиусом-вектором r`, жестко связанным с фигурой, и некоторым фиксированным направлением в K-системе отсчета. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями:

 

Если за промежуток времени dt радиус-вектор г' точки A (рис.7.1,б) повернется на угол dj, то на такой же угол повернется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими словами, поворот фигуры на угол dj не зависит от выбора точки O`. А это значит, что и угловая скорость w фигуры тоже не зависит от выбора точки O`, и мы имеем право называть w угловой скоростью твердого тела как такового.

Найдем скорость v произвольной точки А тела при плоском движении. Введем вспомогательную K`-систему отсчета, которая жестко связана с точкой O` тела и перемещается поступательно относительно K-системы (рис.7.1). Тогда элементарное перемещение dr точки A в K-системе можно записать в виде

 

где dro — перемещение К`-системы (точки О'), a dr' — перемещение точки А относительно К'-системы. Часто бывает удобно помещать начало координат движущейся системы (особенно если это – шар, цилиндр, колесо-обруч и т.п.) в центр масс тела, который в таких симметричных случаях является и центром инерции тела.

Перемещение dr' обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в K`-системе оси, проходящей через точку O`. Поскольку , подставив это выражение в предыдущее и продифференцировав обе части полученного равенства по t, найдем

 т.к.

т. е. скорость любой точки A твердого тела при плоском движении складывается из скорости  произвольной точки O` этого тела и скорости , обусловленной вращением тела вокруг оси, проходящей через точку O`. Подчеркнем еще раз, что v' — это скорость точки A относительно поступательно движущейся K'-системы отсчета, жестко связанной с точкой O`.

Иначе говоря, плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения - поступательного (вместе с произвольной точкой О' тела) и вращательного (вокруг оси, проходящей через точку O`).


Основы термодинамики