Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Курс лекций по физике Основы специальной теории относительности (СТО) Основы классической динамики Законы Ньютона в классической механике

Основной закон динамики вращательного движения

 Вывод основного уравнения динамики вращательного движения на простом примере вращения материальной точки, позднее ответ обобщим для любых тел.

К выводу основного закона динамики вращательного движения.

 Предположим, что некоторая материальная точка массой m вращается по окружности радиуса r под действием постоянной силы F, ориентированной под некоторым углом a к вектору скорости частицы (иначе движение не будет ни вращательным, ни криволинейным). Разложим силу F на составляющие:

 Fn – нормальная составляющая, удерживающая точку m на криволинейной траектории,

 Ft - тангенциальная составляющая силы, способная изменить величину скорости движения точки.

 Из геометрических соображений

 Ft = F×sin a.

  С другой стороны, по второму закону Ньютона

 Ft = m×at,

  здесь аt - линейное тангенциальное ускорение. Из кинематики вращательного движения известно, что аt = e×r.

  Итак, можно записать F×sina = m×e×r.

 Домножим обе части полученного равенства на r

 F×r×sina = mr2×e.

Но r×sina = ro – плечо силы F относительно центра вращения О, а произведение силы на её плечо F×ro = M – момент этой силы относительно оси вращения, в нашем случае проходящей через точку О перпендикулярно рисунку. В векторной форме  Направление вектора момента силы определяется по известному уже правилу векторного произведения или правого винта.

Полученную нами величину “mr2” обозначают “I” и называют «момент инерции тела массой m, движущейся по криволинейной траектории радиусом r».

В результате мы получили уравнение

M = I×e, которое и называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Удобнее это уравнение представить в виде , при этом видно, что уравнение является аналогом уравнения второго закона Ньютона для поступательного движения , лишь вместо силы выступает механический момент силы, роль массы m выполняет момент инерции I.

Теперь рассмотрим вращение абсолютно твердого тела произвольной формы относительно произвольной оси, проходящей через любую точку тела (рис.7.3)

  Рис.7.3. Вращение тела произвольной формы.

 ri mi

 a  Fi

 O`

Разобьем тело на множество элементарных масс. Тогда для каждой из них можно записать выражение, уже полученное нами

Fi×ri×sinai = Dmiri2×e,

где e - угловое ускорение, одинаковое для всех точек абсолютно твердого тела.

Для всего тела тогда можно записать

Суммирование по всему объему дает

 - полный момент сил (относительно оси OO`), действующих на тело.

 - момент инерции тела относительно оси OO`.

Итого получили  - выражение, аналогичное полученному для материальной точки.

Момент инерции тела.

Для тела произвольной формы и массы момент инерции может быть найден суммированием  где Dmi – элементарные массы, на которые следует разбить тело при определении его момента инерции, а ri – расстояние i-того элемента до оси вращения. Для симметричных тел простой формы операция суммирования заменяется интегрированием.

 Так как физические тела могут иметь весьма сложную форму и ось вращения может иметь бесконечное множество ориентаций, бессмысленно говорить о величине момента инерции любого тела, как о чем-то фиксированном и навечно застывшем.

 При выборе положения оси вращения естественное преимущество отдают осям вращения, проходящим через центр инерции (ЦИ) тела. Пусть выбрана обычная прямоугольная система, с направлениями осей, совпадающими с направлениями геометрической симметрии тела. Для всех тел, кроме простейшего - однородного шара, момент инерции относительно каждой из осей оказывается различным. В общем случае момент инерции тела характеризуется тензором второго ранга (определитель 3´3).

, где 

   

 Момент инерции тела относительно оси, проходящей через его ЦИ, называется собственным моментом инерции.

 В случае непрерывного распределения массы (без пустот, вырезок, инородных включений и т.п.) компоненты тензора относительно, например, оси y, приобретают интегральный вид

 

Рассмотрим два важных частных случая вычисления моментов инерции.

1) Момент инерции цилиндра.

Момент инерции однородного цилиндра, диска, полого цилиндра и т. п. вычислим относительно его геометрической оси. Любое из этих тел мы можем мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса Ro на концентрические слои толщиной dR (рис.7.4). Пусть радиус какого-то слоя R; тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна dm = 2pRhr×dR, где h - высота цилиндра, r - плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя (рис.7.4):

 Рис.7.4

dI = dm×R2 = 2prhR3×dR

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов или момент инерции всего цилиндра Рис.7.4

  (7.1)

Вспоминая, что масса цилиндра m = pRo2hr, можно записать так:

  (7.2)

Момент инерции сплошного однородного цилиндра равен его массе, умноженной на половину квадрата его радиуса.

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R1, а внешний R0 просто вычислить по формуле (7.1), нужно только в интеграле поставить другие пределы, а именно:

Замечая, что масса полого цилиндра равна , запишем момент инерции полого толстостенного цилиндра так:

 (7.3)

Таким же простым путем можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно разбить на совокупность полых цилиндров, колец, дисков.

В качестве оного из примеров можно взять машиностроение. Еще не так давно изучение колебаний здесь не придавалось особого значения, и расчеты на прочность велись на основе статических представлений о зависимости деформаций от нагрузок. Однако вместе со стремлением к увеличению числа оборотов и уменьшению габаритов при переходе к скоростному машиностроению пренебрегать ролью колебаний стало уже невозможно. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок из-за возбуждения колебаний, сделали необходимым для конструкторов и инженеров тщательное исследование возможных вибраций узлов машин и оценку их интенсивности. С развитием физики и математики большую роль теория колебаний сыграла в авиации (эффекты шимми), космонавтики и т.д.
Основы термодинамики