Курс лекций по физике Основы специальной теории относительности (СТО) Основы классической динамики Законы Ньютона в классической механике

 В заключение методов статистической физики рассмотрим вывод фундаментальных понятий о законах распределения молекул газа в центральном поле сил и распределение молекул по скоростям.

Закон распределения молекул по скоростям Максвелла.

При выводе основного уравнения кинетической теории газов мы считали, что молекулы имеют различные скорости. Опыт подтверждает это предположение. Средняя квадратичная скорость, использованная нами выше, является одной из характеристик движения всей совокупности молекул. Она, разумеется, не имеет смысла применительно к одной какой-либо молекуле или к небольшому числу молекул.

Д. К. Максвелл теоретически решил задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения. Он установил закон, позволяющий определить, какое число молекул dN из общего количества No молекул идеального газа в единице объема обладает при данной температуре скоростями, лежащими в интервале от и до и+du. При этом Д. К. Максвелл предполагал, что все молекулы газа одинаковы, температура во всех частях сосуда с газом также одинакова и отсутствуют внешние воздействия на газ. Оказалось, что каждой температуре газа соответствует некоторое значение скорости молекул uв, такое, что скоростью uв и близкими к ней скоростями обладает наибольшее количество молекул. Поэтому uв называется наиболее вероятной скоростью.

Закон распределения молекул по скоростям имеет следующий вид:

 (11.1)

где m — масса молекулы, k — постоянная Больцмана, T - абсолютная температура. Из формулы (11.1) можно определить наиболее вероятную скорость “uв”. Для этого нужно использовать условие для максимума выражения dN/du:

 

Решение этого уравнения имеет вид:

 (11.2)

Таким образом, наиболее вероятная скорость молекул зависит только от температуры газа и его молекулярного веса.

 


 0 uВ u u+du u

Рис.11.1. График функции (11.1).

На рис. 11.1 приведена кривая закона распределения молекул по скоростям. Доля молекул газа , скорости которых лежат в интервале от и до и + du, численно равна площади dS заштрихованной криволинейной трапеции. Физически неверно ставить вопрос: «Сколько молекул имеют скорость точно 650 м/с?», потому что в данный момент может оказаться так, что ни одна молекула точно такой скорости не имеет. Можно поинтересоваться: «Сколько молекул имеют скорости в интервале 649,5 м/с …650,5 м/с». Если требуется найти количество молекул со скоростями в некотором интервале, то нужно проинтегрировать функцию (11.1), выбрав в качестве пределов интегрирования границы интересующего интервала. Заметим, что в силу давнего интереса человечества к этому вопросу, интеграл внесен в соответствующие математические таблицы.

Вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, численно равна доле молекул, скорости которых имеют всевозможные значения от 0 до ¥. Так как этому условию удовлетворяют все No молекул, то рассматриваемая площадь должна быть принята равной единице т.е функция (11.1) нормируема.

Если по оси абсцисс отложить скорости u, а по оси ординат dN/du, то для разных температур T1 <T2 <T3 кривые распределения молекул по скоростям будут иметь вид, изображенный на рис. 11.2. С увеличением температуры газа максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а его абсолютная величина уменьшается. Следовательно, при нагревании газа доля молекул, обладающих малыми скоростями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростями увеличивается.

Рис.11.2. Изменения распределения молекул по скоростям Максвелла с ростом температуры.

Закон распределения скоростей позволяет подсчитать величину средней арифметической скорости  поступательного движения молекул идеального газа. Расчет приводит к следующей формуле:

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа:

наиболее вероятная

средняя арифметическая

средняя квадратичная

Закон Д. К. Максвелла представляет собой с т а т и с т и ч е с к и й з а к о н, полученный с помощью методов теории вероятностей, а потому тем более точный, чем большее число молекул No рассматривается. Важно подчеркнуть, что закон (11.1) справедлив только для хаотического теплового движения молекул идеального газа. Он может быть обобщен на те случаи, когда газ как целое находится в состоянии упорядоченного макроскопического движения. Закон Д. К. Максвелла не справедлив в том случае, когда газ подвергается действию внешнего силового поля. Поэтому, пользуясь законом Максвелла, мы тем самым пренебрегаем действием на газ поля тяготения.

Раз установившись, распределение Максвелла сохраняется в дальнейшем, при этом ни объем, ни давление на него не влияют, влияет только Т.

Закон распределения молекул по скоростям проверялся на опыте различными методами.


Рис.11.3. Схема опыта Штерна.

Первое опытное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном (1920 г.). Прибор, использованный для этих целей, состоял из двух полых коаксиальных цилиндров (рис. 11.3, а), по оси которых была натянута платиновая нить, покрытая серебром. Внутренний цилиндр имел прорезь (щель) вдоль образующей (рис. 11.3, б). В приборе создавался высокий вакуум (давление 10-13-10-12 атм).

В первой стадии опыта прибор находился в покое. Нить нагревалась электрическим током до определенной температуры, которая определялась по ее свечению. При достаточно высокой температуре с поверхности нити испарялось серебро. В полости внутреннего цилиндра образовывался одноатомный газ серебра. Часть атомов серебра через щель проникала в пространство между цилиндрами, образуя «молекулярный» пучок. Достигнув поверхности внешнего цилиндра, атомы серебра оседали, создавая слой в виде узкой полоски, ширина которой была близка к ширине щели (на рис. 11.3, г точка А).

Во второй части опыта внешний цилиндр прибора приводился во вращение, при этом атомы серебра осаждались в другом месте, отмеченном на рисунке 11.3, г точкой В. Различие положений осажденных полосок серебра В и А характеризуется величиной DS.

Обозначив через г и w радиус внешнего цилиндра и угловую скорость его вращения, запишем:

DS = w×r×Dt,  (11.3)

где Dt - время смещения точки внешнего цилиндра на величину DS. Так как в приборе радиус внутреннего цилиндра был намного меньше радиуса внешнего цилиндра, то время прохождения атомами пространства между цилиндрами можно было принять равном:

  (11.4)

Здесь v — скорость атомов серебра.

Очевидно, промежутки времени, входящие в оба уравнения, должны быть одинаковыми. Исключая из этих уравнений Dt, получим:

 (11.5)

Измерив расстояние между полосками DS и скорость вращения прибора, можно определить скорость атомов серебра. В действительности оказалось, что смещенная полоска оказывалась размытой (рис.11.3,г). Этого следовало ожидать, так как вылетающие из щели атомы имеют различные скорости. Очевидно, что более быстрым атомам будут соответствовать меньшие, а медленным - большие смещения. Если определять DS от середины полоски A до наиболее плотной части полоски B (рис. 11.3, г), то можно по формуле (11.3) вычислять наиболее вероятную скорость молекул в молекулярном пучке. Для понимания результатов эксперимента следует учесть распределение молекул по их скоростям в молекулярном пучке и сравнить форму полоски на рис.11.3,г с формой графика распределения Максвелла на рис.11.1.

Недостаток метода Штерна и аналогичных ему методов состоит в том, что измеряются скорости молекул не в газе, а в молекулярном пучке, возникшем при прохождении молекул через диафрагму. В этом пучке быстрых молекул заведомо больше, чем в газе, из которого пучок возник, потому что быстрые молекулы чаще проходят через диафрагму, чем медленные. Кроме того, в пучке молекулы движутся в определенном направлении, в то время как закон Д. К. Максвелла справедлив лишь для совершенно беспорядочного движения.


Основы термодинамики