Курс лекций по физике Основы специальной теории относительности (СТО) Основы классической динамики Законы Ньютона в классической механике

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

При выводе основного уравнения кинетической теории газов и закона Д. К. Максвелла предполагается, что на молекулы газа не действуют никакие внешние силы. Поэтому молекулы равномерно распределяются по объему сосуда. Фактически молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на Землю. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация убывает с высотой.

При неизменной температуре давление газа пропорционально концентрации его молекул. Поэтому и давление газа убывает с высотой.

Рассмотрим закон, которому подчиняется изменение давления газа с высотой.


 Выделим мысленно на высоте z цилиндрический слой высотой dz и площадью основания S. Давление на высоте z равно р, а на высоте z+dz – p+dp (причем dp<0).

 Введем упрощающие предположения.

Атмосферное давление становится пренебрежимо малым уже на высоте 100-200 км, много меньшей радиуса Земли. Поэтому можно считать ускорение силы тяжести, действующее на молекулы газов атмосферы, практически постоянным, не зависящим от высоты и равным g.

Даже у самой поверхности Земли давление и плотность воздуха невелики, и потому воздух можно считать идеальным газом. Массу каждой молекулы обозначим через m, пренебрегая в первом приближении небольшой разницей молекулярных масс основных компонентов воздуха – азота (m = 28 кг/кмоль) и кислорода (m = 32 кг/кмоль).

Температура воздуха с высотой понижается на несколько десятков градусов. Поскольку у поверхности земли абсолютная температура Т»300К, пренебрежем этим изменением и проведем расчет для изотермической атмосферы, считая T=const.

На каждую молекулу действует сила тяжести mg. Число молекул в выделенном объёме равно n×dV = n×S×dz. Полный вес молекул в выделенном объёме равен

dF = mg×n×S×dz.

Кроме веса dF, на молекулы в рассматриваемом объёме действует сила давления (p+dp)×S и снизу сила давления p×S. Под действием этих трех сил объём находится в равновесии. Следовательно,

n×mg×S×dz + (p+dp)×S = p×S.

Сокращаем на S и получим для dp

dp = - n×mg×dz

Заменим

 или .

Полученное уравнение представляет собой обычное дифференциальное уравнение с уже разделенными переменными. Найдем его решение интегрированием правой и левой частей с учетом граничных условий:

  (11.3)

Это и есть барометрическая формула зависимости давления атмосферы от высоты. Ее использование позволяет создавать альтиметры – приборы для измерения высоты полета самолетов, при движении в горах и т.п.

Можно получить еще одно выражение

Теперь можно перейти к анализу зависимости концентрации от высоты, так как

p=nkT, а po=nokT, то, подставляя в (11.3), получаем

 - распределение Больцмана.

Но так как mgz~ep – потенциальной энергии молекулы, а kT~eK – кинетической энергии, то

 - распределение Больцмана для частиц, находящихся в поле 

 сил центральной симметрии.

Как показал Больцман, полученные соотношения остаются справедливыми не только в поле силы тяжести, но и при наличии любых внешних сил.


Основы термодинамики