Курс лекций по физике Основы специальной теории относительности (СТО) Основы классической динамики Законы Ньютона в классической механике

ЭНТРОПИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ.

ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ.

Вероятность термодинамического состояния.

 При анализе путей развития той или иной физической системы общепринято определять вероятности тех или иных состояний и максимально ожидаемой является ситуация с наибольшей вероятностью. Количественной характеристикой вероятности теплового состояния тела является число микроскопических способов, которым это макроскопическое состояние может быть реализовано. Применительно к газам и процессам в них из-за бесконечного хаотического движения молекул данное макроскопическое состояние с некоторыми средними значениями параметров представляет собой непрерывную смену близких микроскопических состояний. Состояния отличаются друг от друга распределением одних и тех же молекул в разных частях объёма и распределением энергии между различными молекулами. Формально обмен двух молекул местами уже изменяет микроскопическое состояние, тем более – их соударение.

 Любое макроскопическое состояние может быть охарактеризовано некоторой вероятностью его возникновения, при этом вероятность равновесного в данных условиях состояния – наивысшая. Применительно к сосуду с газом это, в частности, означает равномерное распределение плотности по всему объёму. В то же время к равновесному состоянию система может прийти огромным числом способов.

Рассмотрим в качестве примера очень простую ситуацию: какими способами могут распределиться всего лишь 4 молекулы в некотором объёме, разделенном на две половины (рис.14.1).

 Рис.14.1. Распределение 4-х молекул в двух половинах объёма.

Вычислим число микроскопических способов, которым может быть реализовано то или иное состояние. Вообще-то реальные молекулы различаются лишь величинами и ориентацией в пространстве своих скоростей, но мы имеем возможность «пометить» их номерами.

В таблице 14.1 представлены все возможные варианты распределения.

 Таблица 14.1

Варианты распределения 4-х молекул в двух половинах объёма.

Количество

слева, n

Количество

справа, (N-n)

Способы реализации

Количество

способов

№№ слева

№№ справа

0

4

-

1234

1

1

3

1

2

3

4

234

134

124

123

4

2

2

12

13

14

23

24

34

34

24

23

14

13

12

6

3

1

123

134

124

234

4

2

3

1

4

4

0

1234

-

1

å

16

Число макроскопических способов, которым реализуется данное макроскопическое состояние, называется статистическим весом состояния W.

Так что в рассмотренном нами примере наибольшим статистическим весом обладает состояние равномерного распределения (2+2) – 6 способов из возможных 16-ти.

По своей физической сущности W – это термодинамическая вероятность состояния, равная произведению термодинамических вероятностей всех промежуточных состояний. Термодинамическая вероятность отличается от математической. Математическая вероятность всегда меньше единицы, так как в простейшем случае равна отношению числа ожидаемых событий к общему числу событий.

Так, математическая вероятность факта, что молекула №1 находится слева, равна p = ½. Вероятность того, что и №1 и №2 находятся слева p = , все 4 слева

p = и т.д. Если число частиц равно “n”, то .

Термодинамическая вероятность – большое положительное число. Статистический вес состояния можно найти как

W = W1×W2×W3…Wn,

где W1,W2…- термодинамические состояния промежуточных состояний.

Из закономерностей табл.14.1 следует, что число состояний, при которых из N молекул в одной половине находится n молекул, а в другой (N-n) может быть вычислено как число сочетаний

. (14.1)

Какие численные значения характерны?

Для N=24 полное число равновесных состояний или статистический вес составляет 224=16 777 216 способов, вероятность того, что все 24 молекулы находятся в одной половине р = 6×10-7, зато вероятность того, что они поделились пополам составляет

р = 0,161 или в 268333 раза выше. Вероятность деления в соотношении 11-13 или 13-11

уже ниже р = 0,149.

  При числе молекул N = 1020 (это всего лишь 4 см3 – меньше спичечной коробки воздуха при нормальных условиях) вероятность самопроизвольного сбора всех молекул в одной половине ничтожна и составляет всего лишь


Основы термодинамики