Курс лекций по физике Основы специальной теории относительности (СТО) Основы классической динамики Законы Ньютона в классической механике

Поток вектора напряженности электрического поля.

Вектор электрической индукции D и его поток.

 В предыдущем параграфе был приведен пример вычисления напряженности поля системы электрических зарядов способом суперпозиции полей. Однако геометрическое сложение напряженностей более чем двух зарядов очень громоздко, неудобно и дает погрешности, нарастающие с числом используемых зарядов.

Прежде, чем будет рассмотрен другой метод решения этой задачи, основанный на применении теоремы Остроградского-Гаусса необходимо ввести еще две характеристики, описывающие электрические поля: поток напряженности Ф и электрическую индукцию D.

Поток напряженности ФЕ электрического поля через площадку S равен числу силовых линий напряженности Е, пронизывающих эту площадку при условии, что линии напряженности перпендикулярны площадке (рис.16.7).

 En ФЕ = Е×S×cosa = En×S = E×S^. (16.6)

  E Рис.16.7. К понятию потока ФЕ.

Если поле неоднородно, то элементарный поток через любую площадку dS можно найти в виде:

dФЕ = En×dS = E×dS×cosa. (16.7)

Для площадки конечного размера получаем

 (16.8)

а если рассматривается поток через замкнутую поверхность, то нужно записать

  (16.9)

 Вектор напряженности электрического поля Е и его поток ФЕ являются удобными характеристиками при анализе электрических полей в вакууме и однородной среде, однако их применение сопряжено со значительными трудностями при определении параметров поля системы зарядов, находящейся в неоднородной среде, при наличии скачкообразного изменения e на границах раздела сред.

 Например, точечный заряд, расположенный внутри воздушного пузырька, находящегося в дистиллированной воде создает поле, которое с трудом можно изобразить как на рис.16.9.

 На самом деле густота линий на границе раздела воздух-вода должна изменяться в 81(!) раз, в соответствии с соотношением величин диэлектрической

проницаемости eвода/eвоздух = 81.

 

 Напомним, что для точечного заряда

  - то-есть на границе раздела модуль вектора Е изменяется в e раз.

 Гауссом предложено вспомогательное векторное поле – вектор электростатической индукции или электрического смещения D. 

  (16.10) 

Иногда используется величина «абсолютной диэлектрической проницаемости»

eа = e×eо.

Для точечного заряда получаем

 (16.11)

Величина вектора D не изменяется на границе раздела сред, т.к. от e не зависит.

Теорема Гаусса (Остроградского – Гаусса).

Теорема Гаусса (Гауссу принадлежит мысль физического применения математической теоремы Остроградского) позволяет определить поток вектора напряженности или поток вектора электрического смещения от любого количества зарядов через замкнутую поверхность, охватывающую эту систему зарядов. Теорема существенно облегчает расчет параметров электрического поля, создаваемого многими зарядами, в том числе непрерывно распределенными в пространстве, по крайней мере, в простых симметричных случаях.

Рассмотрим простой частный случай этой теоремы, затем ответ обобщим. Определим поток напряженности через шаровую поверхность радиусом Rсф, в центре которой помещен заряд +q. Через элемент площади dS проходят dФЕ силовых линий электрического поля (рис.16.10), т.е. dФЕ = En×dS.

 и одинакова

 E во всех точках сферы.

Тогда поток напряженности через рассматриваемую сферическую поверхность равен

 (16.12)

Таким образом, каждому точечному заряду соответствует поток вектора напряженности, равный  и поток вектора электрической индукции ФD = q.

Обобщим этот результат на случай системы многих зарядов и поверхности произвольной формы.

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности электрических зарядов, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды:

 (16.13)

Часто применяют следующую интегральную запись теоремы:

Для вектора смещения уравнение выглядит проще:

 (16.14)

Во всех случаях полагают поток, выходящий из объёма положительным, а поток, входящий в объём отрицательным (рис.16.11,а,б).

Рис.16.11. Формирование потока напряженности электрического поля через замкнутую поверхность произвольной формы. а) ФЕ = 0, т.к. внутри объёма åq = 0;

б) ФЕ¹0.

Прежде чем перейти к вычислению напряженностей полей различных систем электрических зарядов, остановимся на наиболее типичных случаях распределения этих зарядов в пространстве. Неподвижные электрические заряды располагаются в пространстве либо дискретно - в отдельных точках, либо непрерывно - вдоль какой-либо линии, на поверхности какого-либо тела или, наконец, в некотором объеме.

В случае непрерывного распределения электрических зарядов вводится понятие о плотности зарядов. При непрерывном распределении зарядов вдоль линии вводят линейную плотность электрических зарядов

где dq - общий заряд участка линии длиной .

Если заряды непрерывно распределены по некоторой поверхности, то пользуются поверхностной плотностью зарядов

 

где dq - общий заряд участка поверхности, площадь которого равна dS.

При непрерывном распределении зарядов в каком-либо объеме вводится объемная плотность зарядов

 

где dq - общий заряд элемента объема dV.

В случае непрерывного распределения зарядов в правой части формул (16.13, 16.14) вместо суммы берется интеграл.

С учетом введенных величин плотностей распределения заряда используются следующие формы записи теоремы Гаусса-Остроградского в интегральной и дифференциальной формах:

 - интегральная форма. (16.15)

 - дифференциальная форма в СИ. (16.16)

 - в СГС-системе. (16.17)

Ввиду того, что теория линейных колебаний по указанным выше причинам разработана весьма детально, и ее математический аппарат действует, можно сказать почти автоматически, исследователи стремились изучаемые ими колебания подводить под линейные схемы, отбрасывая часто без должного обоснования нелинейные члены. При этом иногда совершенно упускалось из виду, что такая "линейная" трактовка может привести к существенным ошибкам не толь количественного, но и принципиально качественного характера.
Основы термодинамики