Электростатика Электрическое поле и его характеристики Поле электрического диполя Постоянный электрический ток Правила Кирхгофа

Основы классической электронной теории

Электронная теория проводимости металлов была впервые создана П. Друде в 1900 г. и получила дальнейшее развитие в работах Г. Лоренца. С точки зрения классической электронной теории высокая электропроводность металлов объясняется наличием огромного числа носителей тока - электронов проводимости, перемещающихся по всему объему проводника. Друде предположил, что электроны проводимости в металле можно рассматривать как электронный газ, обладающий свойствами идеального одноатомного газа. При своем движении электроны проводимости сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла. Поэтому можно говорить о средней длине свободного пробега электронов , которая по порядку величины должна быть равной периоду кристал­лической решетки металла, т. е. 10 -8 см.

Пользуясь закономерностями кинетической теории газов, определим среднюю кинетическую энергию теплового движения электронов:

 

где m - масса, а vкв — средняя квадратичная скорость электронов. При температуре 0°С vкв »110 км/сек. Таков же порядок величины средней арифметической скорости uар теплового движения электронов.

Тепловое движение электронов вследствие своей хаотичности не может привести к возникновению электрического тока.

Под действием внешнего электрического поля в металлическом проводнике возникает упорядоченное движение электронов, т. е. возникает электрический ток. Плотность тока j равна общему заряду всех электронов, которые проходят за одну секунду через единицу площади поперечного сечения проводника. Эти электроны заключены в объеме цилиндра, площадь основания которого равна единице, а высота - средней скорости  упорядоченного движения электронов под действием внешнего электрического поля. Если в единице объема находится no электронов, то численное значение плотности тока выразится формулой

. (20.23)

Оценим порядок величины средней скорости  упорядоченного движения электронов. Для провода из определенного материала и заданного сечения существует максимальная технически допустимая нагрузка, превышение которой приводит к опасному перегреву провода. Например, для изолированного медного провода с сечением в 1 мм2 наибольшая допустимая плотность тока равна 11 • 106 A/м2. Так как для меди объемная плотность электронов про­водимости no » 8,5×1028 м -3, а абсолютная величина заряда электрона е = 1,6×10 -19 Кл, то по формуле (20.23) средняя скорость движения электронов при этих условиях оказывается равной:

Таким образом, средняя скорость упорядоченного движения электронов, обусловливающая наличие электрического тока в проводнике, чрезвычайно мала по сравнению со средней скоростью их теплового движения при обычных температурах. Незначительная величина средней скорости  объясняется весьма частыми столкно­вениями электронов с ионами кристаллической решетки.

Как согласовать очень малую величину этой скорости электронов с практически мгновенной передачей электрических, например, телеграфных, сигналов на очень большие расстояния?

Замыкание электрической цепи на станции отправления влечет за собой распространение электрического поля в проводах и вокруг них. Всякое изменение электрического поля передается вдоль проводов с огромной скоростью с, равной 3×108 м/сек (скорости света). Таким образом, спустя время  где L -длина провода, вдоль цепи установится стационарное поле и в ней начнется упорядоченное движение электронов проводимости. Если L = 1000 м, то t = 0,3 • 10 -5 сек. Поэтому движение электронов под действием внешнего электрического поля возникает на всем протяжении провода практически одновременно с подачей сигнала.

Вывод законов Ома и Джоуля—Ленца в классической электронной теории

Важнейшей задачей классической электронной теории проводимости металлов является теоретический вывод основных законов электрического тока - законов Ома и Джоуля-Ленца, установленных опытным путем. Рассмотрим вывод этих законов.

1. Предположим, что при соударениях с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают под действием внешнего электрического поля за время t свободного пробега. В процессе свободного пробега электроны движутся равноускоренно. Поэтому средняя скорость упорядоченного движения электронов равна:

где макс—среднее значение максимальной скорости, приобретаемой электроном под действием электрического поля за время свободного пробега.

Пусть т—масса электрона, е—его заряд и Е—напряженность стационарного электрического поля в проводнике. Тогда уравнение движения электрона имеет следующий вид

 

Интегрируя это уравнение по v от 0 до vмакс и по t от 0 до t (t - средняя продолжительность свободного пробега электрона), получаем:

  (20.24)

и

 . (20.25)

Среднее время свободного пробега электронов можно выразить через среднюю длину свободного пробега  и среднюю скорость движения электронов относительно кристаллической решетки проводника. Эта скорость равна сумме средней скорости   их теплового движения и средней скорости и упорядоченного движения. Поэтому

Выше было показано, что . Поэтому в предыдущей формуле величиной   по сравнению с  можно пренебречь

Подставим значение  в формулу (20.25):

  (20.25`)

Заменив в (20.24)  его выражением из (20.25`), получим:

 . (20.26)

Величина

 

называется удельной электропроводностью, а обратная ей величина  - удельным сопротивлением проводника.

Следовательно,

  (20.27)

Формула (20.27) совпадает с (20.12) и выражает закон Ома в дифференциальной форме для плотности тока:

плотность тока в проводнике равна произведению удельной проводимости проводника на напряженность электрического поля.

Векторы Е и j имеют одинаковое направление. Поэтому закон Ома можно записать также в векторной форме (20.12).

Рассмотрим превращение энергии, происходящее при соударениях электронов проводимости с узлами кристаллической решетки. В конце свободного пробега каждый электрон теряет скорость упорядоченного движения. Средняя энергия, передаваемая при этом электроном тому иону, с которым он столкнулся, равна . За единицу времени электрон в среднем претерпевает   столкновений с узлами решетки, причем

  (20.28)

Все по электронов проводимости, находящихся в единице объема проводника, испытывают  столкновений в единицу времени и передают узлам решетки металла энергию, которая идет на увеличение теплового движения ионов металла, т. е. на нагревание проводника

 (20.29)

 Подставив в (20.29) выражения для  из (20.28) и  из (20.24), получим величину энергии, которая передается ионам решетки в единице объема проводника за единицу времени:

  (20.30)

Эта величина по своему физическому смыслу является плотностью тепловой мощности тока, рассмотренная нами в уравнении (20.17).

Коэффициент есть не что иное, как удельная электропроводность

металла, поэтому (20.30) можно записать в следующем виде:

. (20.31)

Формула (20.31) представляет математическое выражение закона Джоуля—Ленца для плотности тепловой мощности тока:

плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электропроводности на квадрат напряженности электрического поля,

и совпадает с ранее полученным выражением (20.19) дифференциальной формы закона.

В приведенных выше выводах законов Ома и Джоуля—Ленца мы предполагали, что при соударениях электронов с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения. Г. Лоренц показал, что это предположение несущественно. К тем же результатам можно прийти, считая, что соударения электронов с узлами решетки являются абсолютно упругими.

Лишь после 20-х годов настоящего столетия, после работ Карсона, Дейча, Бромвича и др., математическая сторона символического метода начала существенно проясняться, связываясь с преобразованием Лапласа и мощными методами теории функций комплексного переменного. Вопросам теории и приложения символических методов в настоящее время посвящена обширная литература Поэтому в курсе, который вы будете изучать, в этом семестре будут, представлены методы позволяющие, проанализировать процессы, происходящие в таких системах.
Закон Ома для однородного участка цепи