Электростатика Электрическое поле и его характеристики Поле электрического диполя Постоянный электрический ток Правила Кирхгофа

Электромагнитные колебания

 Квазистационарные токи

Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и напряжения, если только их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи с огромной скоростью, равной скорости света с. Если за время , необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности запишется следующим образом:

где Т - период изменений.

При размерах цепи порядка 3м t = 10-8 с. Таким образом, вплоть до Т порядка 10-6 с (что соответствует частоте 106 Гц) токи в такой цепи можно считать квазистационарными. Ток промышленной частоты (n = 50 Гц) квазистационарен для цепей  длиной до ~ 100 км.

Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Следовательно, для них справедливы и правила Кирхгофа.

Свободные электромагнитные колебания в контуре без активного сопротивления

Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Такая цепь называется к о л е б а т е л ь н ы м к о н т у р о м. На рис. 26.2,а изображены последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре с активным сопротивлением, равным нулю.

Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величины qm (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна  

Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна .


Рис.26.2. Стадии колебательного движения в контуре (а) и его сопоставление с колебаниями пружинного маятника (б).

Так как активное сопротивление цепи равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергии электрического поля и энергии магнитного поля , не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет ЭДС самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достигнут первоначальной величины qm, сила тока становится равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе описанного процесса периодически изменяются (т. е. колеблются) заряд q на обкладках, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

На рис. 26.2,б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение маятника внешней силой из положения равновесия и сообщение ему первоначального отклонения хм. При этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пружины, равная . Стадии 2 соответствует прохождение маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инерции. К этому времени энергия маятника полностью переходит в кинетическую и определяется выражением . Сопоставление дальнейших стадий предоставляем читателю.

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля  аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля  аналогична кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы m, величина, обратная емкости (1/С), - роль коэффициента жесткости k. Наконец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равновесия х, а силе тока  - скорость v. Как мы увидим ниже, аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения.

Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емкости  и на индуктивности (вследствие явления самоиндукции) - в сумме должны дать нуль, т.к. åЕ = 0 в соответствующем уравнении Кирхгофа:

 

Разделив это выражение на L и заменив через , придем к следующему уравнению:

 (26.9)

Если ввести обозначение

  (26.10)

уравнение (26.9) принимает вид

   (26.11)

известный в теории колебаний как дифференциальное уравнение свободных (незатухающих) колебаний. Решение дифференциальных уравнений ищут в виде функции, которая, будучи подставлена в уравнение, после соответствующего дифференцирования, обращает уравнение в тождество. Решением уравнения (26.11) является функция

q = qmcos(wot + j). (26.12)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой выражением (26.10). Эта частота называется собственной частотой контура (она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора). Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона:

  (26.13)

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С:

  (26.14)

Продифференцировав функцию (26.12) по времени, получим выражение для силы тока

 (26.15)

Сопоставляя формулы (26.12) и (26.15), заключаем, что в момент, когда ток достигает максимального значения, заряд (а также напряжение) обращается в нуль, и наоборот. Это соотношение между зарядом и током мы уже установили ранее, основываясь на энергетических соображениях и анализе рис.26.2,а.

Из формул (26.14) и (26.15) вытекает, что

 

Заменяя wо по формуле (26.10), получим

  (26.16)

Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля должно быть равно наибольшему значению энергии магнитного поля .

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).
Закон Ома для однородного участка цепи