Электростатика Электрическое поле и его характеристики Поле электрического диполя Постоянный электрический ток Правила Кирхгофа

Свободные затухающие механические колебания пружинного маятника.

Для дружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F = - kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

Fтр = - rv = -rx`,

где r – коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

 (26.43)

Используя формулу  и принимая, что коэффициент затухания 

  (26.44)

получим идентичное уравнению (26.33) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

  (26.45)

Из выражений (26.45) и (26.34) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота

К механическим колебаниям применимы для описания темпов затухания те же параметры, как и для электромагнитных: декремент, логарифмический декремент, добротность, время релаксации.

Вынужденные электрические колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие.

В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение U (рис.26.8). 

Для реализации незатухающих механических колебаний необходимо воздействовать на колеблющуюся систему периодической силой.

Рис.26.8.

 Запишем второй закон Кирхгофа применительно к контуру рис.26.8 (приравняем сумму падений напряжения на элементах контура приложенному напряжению):

 

Перейдя от тока i к заряду q и, использовав уже применявшиеся обозначения, получим уравнение

 (26.46)

которое и является дифференциальным уравнением вынужденных электромагнитных колебаний.

В случае ЭДС уравнения остаются такими же, нужно лишь функцию для напряжения U = Um coswt  заменить функцией Е =Еmcoswt.

  Частное решение этого уравнения имеет вид

 q = qmcos(wt - y), (26.47) 

где

 

 

Подстановка в эти выражения значений (26.10) и (26.32) для wо2 и b дает

 (26.48)

 (26.49)

Величину R называют активным сопротивлением, а  - реактивным сопротивлением.

Общее решение получится, если к частному решению (26.47) прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе [см. формулу (26.34)] и оно содержит экспоненциальный множитель е-b×t, поэтому по прошествии с начала колебаний достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (26.47). Графически установление колебаний можно представить как на рис.26.9.

Заметим, что вынужденные колебания происходят на установившейся стадии с частотой вынуждающей силы.

 Рис.26.9. Стадии установления вынужденных колебаний.

Разделив в формуле (26.47) заряд q на емкость С, получим напряжение на конденсаторе

 

где

  (26.50)

 Продифференцировав функцию (26.47) по t, найдем установившийся ток в контуре

 i = - wqmsin(wt - y) = Im cos(wt - y + p/2). (26.51) 

  Амплитуда тока имеет значение

  (26.52)

 Легко заметить, что, обозначив величину

, (26.53)

из (26.52) мы получаем выражение, идентичное закону Ома для участка цепи

Величину Z, имеющую физический смысл полного сопротивления цепи, называют импедансом цепи и часто представляют как

  где . (26.54)

 Различные резонансные явления в электрических цепях будут подробно рассматриваться в специальных курсах.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).
Закон Ома для однородного участка цепи