Отбеливание зубов

Отбеливание зубов

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Электростатика Электрическое поле и его характеристики Поле электрического диполя Постоянный электрический ток Правила Кирхгофа

Вынужденные механические колебания

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора Х(t), изменяющего по гармоническому закону:

X(t) = Xo×coswt

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

F = Fo× coswt. (26.55)

С учетом (26.55) закон движения для пружинного маятника (26.45) запишется в виде

Поделив всё на m, и используя уже применявшиеся нами общепринятые обозначения, получаем

 (26.56)

которое является аналогом уравнения (26.46) и служит дифференциальным уравнением механических вынужденных колебаний.

 Решение этого уравнения состоит, так же, как и (26.46), из решений неоднородного уравнения, отражающего стадию установления колебаний, и решения однородного уравнения на стадии установившихся колебаний (рис.26.9). На стадии установившихся колебаний они происходят с частотой вынуждающей силы, а амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна

  (26.57)

Механический резонанс

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту wрез, нужно найти максимум функции (26.57) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по w и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее wрез

- 4(wо2 - w2)×w + 8b2w = 0. (26.58) 

Уравнение (26.52) имеет три решения: w = 0 и . Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

 (26.59)

Подставив это значение частоты в (26.57), получим выражение для амплитуды при резонансе:

  (26.60)

Из (26.60) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (26.53) резонансная частота при тех же условиях (при b = 0) совпадает с собственной частотой колебаний системы wо.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана графически на рис. 26.10. Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. В соответствии с (26.59) и (26.60), чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (таком, что 2b2>wo2) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается - с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 26.10).

 

Рис.26.10. Резонансные кривые.

Изображенная на рис. 26.10 совокупность графиков функции (26.57), соответствующих различным значениям параметра b, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении wo к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному  Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины Fo. При стремлении wo к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше b, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).
Закон Ома для однородного участка цепи