Электростатика Электрическое поле и его характеристики Поле электрического диполя Постоянный электрический ток Правила Кирхгофа

Механические волны

Основные понятия и определения

  Рассмотрим теперь характеристики колебательных движений, происходящих в системах с достаточно большим, в принципе бесконечно большим числом частиц – в сплошных средах с идеально упругими связями между атомами и молекулами.

 Помимо богатого частотного спектра возможных собственных колебаний, системы с многими степенями свободы обладают ещё одним замечательным свойством: в них наблюдаются явления передачи различных возмущений от одних частей системы к другим. Они обусловлены силами взаимодействия между частицами – силами притяжения и отталкивания атомов, взаимодействием силовых полей.

 Распространение в пространстве различных видов возмущения вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной.

 Примером такого типа движений материи являются звук, волны деформации от ударов и взрывов, электромагнитные волны.

 Нужно отметить, что ориентация колебаний может быть различной относительно направления их распространения. Например, в идеальной решетке монокристалла возбуждение колебательного движения одного атома приводит к возникновению нескольких волн разной амплитуды, поляризации и частоты (рис.28.1).

Возбуждение колебаний в кристалле. 

 В волне на поверхности жидкости колеблющиеся частицы совершают круговые движения

 В газах частицы движутся вдоль направления распространения волны.

 Если ориентация плоскости колебаний не меняется относительно направления распространения, то волна называется поляризованной.

  Если колебания частиц среды происходят строго перпендикулярно направлению волны, то волна называется поперечной, если колебания совершаются вдоль направления распространения волны, то волну называют продольной (рис.28.3а,б).


Рис.28.3,а. Механизм распространения поперечной волны.


Рис.28.3,б. Механизм распространения продольной волны.

 Поперечными являются, например, колебания в струнах, оболочках, электромагнитные волны. Звук в газах и жидкостях относится к продольным волнам. В твердых телах звуковая волна имеет сложную структуру, так как могут распространяться как продольные, так и поперечные волны.

 Продольные волны могут возбуждаться в средах, сопротивляющихся деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться только в средах, способных сопротивляться деформации сдвига, т.е. в твердых телах, в жидкостях наблюдается быстрое затухание поперечных волн; в жидкостях и газах возникают только продольные волны.

 По форме фронта волны – поверхности, разделяющей возмущенное и невозмущенное колебаниями пространства, - различают волны плоские, сферические, цилиндрические. Волновым фронтом называется геометрическое место точек среды, до которых дошли колебания к моменту времени t. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называются волновой поверхностью (их – бесконечно много). 

 Важной характеристикой волны является скорость её распространения. При малых возмущениях скорость не зависит от амплитуды колебаний и зависит только от свойств среды. Это утверждение справедливо лишь для монохроматических волн (одночастотных).

 Различают фазовую скорость – скорость распространия гармонической волны (описываемой функциями sin или cos) и групповую скорость – скорость распространения возмущения импульсного типа, скорость, с которой волновой пакет переносит энергию.

 Фазовые скорости определяются из соотношений:

 продольная волна

 поперечная волна

 в газах

 Еще важными соотношениями в теории волн является связь между скоростью волны, её периодом и длиной:

 l = v×T.

 Длина волны – расстояние, на которое распространяется определенная фаза колебаний за один период, кратчайшее расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах.

Уравнение плоской волны

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Для вывода уравнения бегущей волны - зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени - рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис.28.4, рис.28.3).

 

Рис.28.4. К выводу уравнения волны.

 В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x (обобщенная координата) будет зависеть только от х и t, т. е. x = x(x,t).

На рис. 28.4 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией

 x(0,t) = Acoswt, (28.1)

то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

 (28.2)

откуда следует, что x(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (28.2) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

 

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

 (28.3)

где A=const - амплитуда волны, w - циклическая частота, jo - начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, — - фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

 (28.4)

Учитывая (28.4), уравнению (28.3) можно придать вид

  (28.5)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (28.5) только знаком члена kx.

Основываясь на формуле Эйлера, уравнение плоской волны в экспоненциальной форме можно записать в виде

 (28.6)

где физический смысл имеет лишь действительная часть Re.

По определению волновой поверхности фаза постоянна, т. е.

 (28.7)

Продифференцировав выражение (28.7) по t сократив на w, получим  откуда

  (28.8)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (28.7) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны - волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

 (28.9)

где r - расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (28.9) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (28.4) вытекает, что фазовая скорость Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

 (28.10)

или

  (28.11)

где v - фазовая скорость, D = - оператор Лапласа. Решением уравнения (28.11) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (28.11) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (28.2)) и сферическая волна (см. (28.9)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение имеет вид

  (28.12)

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).
Закон Ома для однородного участка цепи