Теория электрических сигналов Линейные радиоэлектронные цепи Частотные свойства усилителей. Анализ нелинейных цепей Баланс мощностей в параметрических цепях.

Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая осуществимость.

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К(j) является функцией комплексно сопряженной по отношению к спектру сигнала S(j), указывает на существование связи и между временными характеристиками сигнала и фильтра. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра. Последняя связана с комплексной передаточной функцией парой преобразований Фурье. На этом основании имеем

  (23)

Учитывая, что S*(j)= S(-j), то переходя к новой переменной , получим

   (24)

Правая часть этого выражения есть функция AS(t-t0). Следовательно, если задан сигнал S(t), то импульсная характеристика согласованного фильтра

  (25)

Рассмотрим графическую интерпретацию формулы (25) (см. рис.).

Кривая S(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала S(t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция S(t0-t), представляющая собой функцию S(-t) сдвинутую вправо на t0=t, тоже зеркальна относительно S(t), но с осью симметрии t=t0/2. (рис. 1). На рис. 2 показано аналогичное построение, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при t<0, поскольку отклик не может появиться ранее воздействия. Поэтому задержка t0 не может быть меньше ТС. Следовательно, только при  может быть использована вся энергия сигнала для создания максимального пика в точке t=t0. Отсюда очевидно, что увеличение t0 сверх ТС не влияет на величину пика выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

С другой стороны, условие  накладывает на сигнал S(t) требование, чтобы длительность его TC была конечна. Только в этом случае, при конечной величине задержки t0 можно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в рассматриваемом здесь смысле возможного только при импульсном сигнале, а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов.

Рассмотрим подобный вопрос о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задачи произвольный сигнал S(t), которому соответствует импульсная характеристика согласованного фильтра g(t) и Фурье-преобразование от этой функции K(j), определяемые, соответственно, формулами (25) и (19). Вопрос ставится так: при каких условиях K(j) может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника?

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли-Винера, согласно которому неравенство

  (26)

является необходимым условием, чтобы исполнительная функция К( могла быть модулем передаточной функции пассивной электрической цепи. Т.к. К( =AS(то (26) можно записать в виде

  (27)

Отсюда следует, что необходимым условием физической осуществимости согласованного фильтра является сходимость материала (27). Это условие эквивалентно требованию, чтобы длительность сигнала была ограничена.

7.2.3. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра

Для определения формы сигнала на выходе используем общее выражение

 

Подставив в него (19) получим

  (28)

(t=t0 момент времени, когда сложение всех компонентов спектра выходного сигнала, по фазе, дает max выходной сигнал).

При t=t0 правая часть этого выражения переходят в энергию входного сигнала:

   (29)

где Э - энергия входного сигнал.

С другой стороны, из первой части (28), в которой фигурирует произведение , вытекает, что SВЫХ(t) можно представить как свертку следующих двух функций времени: S(t) и S(t0-t). Таким образом, получаем

 

Пологая , получаем

  (30)

где x и y имеют смысл времени на интервале, где S(t) и S(t0-t) существуют одновременно.

Интеграл в правой части (30) является автокорреляционной функцией входного сигнала - BS(t-t0).

Таким образом, приходим к важному выводу, что

  (31)

т.е., что сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала.

Для составления функции SВЫХ(t) на заданной функции BS( достаточно в последней  заменить на (t-t0) и учесть коэффициент А. При t=t0, т.е. при =0, величина BS(0) равна энергии сигнала. Следовательно, как и при спектральном рассмотрении, пиковое значение сигнала (сравнить с (29))

Рассмотрим теперь параметры и статические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума закон распределения его плотности вероятности на выходе линейного фильтра остается таким же, как и на входе. Энергетический спектр шума на выходе фильтра равен

Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласовано фильтра

 

Подставляя K(AS() и учитывая (28) и (31), в которых примем t-t0=, получаем

  (32)

Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом).

Приравнивая =0, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе

  (33)

Составим отношение пикового значения сигнала SВЫХ(t0) к среднеквадратическому значению шума - . В соответствии с формулами (29) и (33)

  (34)

Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума W0. Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи. при этом амплитуда А0 и длительность сигнала ТС связаны очевидным соотношением

 А02ТС=const

При измерении длительности сигнала следует обеспечить неизменной ширину его спектра. Это можно осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию (частотную или амплитудную).

Генерирование гармонических колебаний Генерация гармонических колебаний. Обобщенная схема автогенератора. Баланс амплитуд и баланс фаз. Самовозбуждение автогенератора с индуктивной обратной связью (линейное приближение). Стационарный режим автогенератора (квазилинейное приближение). Устойчивость стационарных режимов. Мягкое и жесткое самовозбуждение автогенератора. Релаксационные генераторы.
Анализ параметрических цепей